剰余の定理と因数定理の使い方をわかりやすく解説

1. 剰余の定理とは

多項式 $P(x)$ を1次式 $x-a$ で割ったときの余りは、実際に割り算をしなくても $P(a)$ を計算するだけでわかります。これを剰余の定理といいます。

$$P(x) \div (x - a) \text{ の余り} = P(a)$$

これは、$P(x) = (x-a)Q(x) + R$($Q(x)$ は商、$R$ は余りの定数)と表したとき、$x=a$ を代入すると $(x-a)$ の項が $0$ になり $P(a)=R$ となることからわかります。

1.1. 例題1: 剰余の定理で余りを求める

$P(x) = x^3 - 4x^2 + 2x + 1$ を $x-2$ で割った余りを求めなさい。

剰余の定理より、余りは $P(2)$ を計算すればよいので、

$$P(2) = 2^3 - 4\times2^2 + 2\times2 + 1 = 8 - 16 + 4 + 1 = -3$$

よって、余りは $-3$ です。

2. 因数定理とは

剰余の定理で余りが $0$ になる、つまり $P(a)=0$ となる場合、$P(x)$ は $x-a$ で割り切れるということです。これを因数定理といいます。

$$P(a) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad P(x) \text{ は } (x-a) \text{ を因数に持つ}$$

因数定理を使うと、3次以上の方程式(高次方程式)の解を見つけたり、高次式を因数分解したりできます。

3. 因数定理を使った高次方程式の解き方

1. 定数項の約数の中から $P(a)=0$ となる $a$ を探す
2. 見つかった $a$ を使って $P(x)$ を $(x-a)$ で割り算し、商を求める
3. 商が2次式になったら、因数分解の公式 や解の公式でさらに解く

3.1. 例題2: 三次方程式を解く

方程式 $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ を解きなさい。

定数項 $-6$ の約数の中から代入して $0$ になるものを探すと、$x=1$ のとき、

$$1 - 6 + 11 - 6 = 0$$

となり、$P(1)=0$ です。よって $(x-1)$ が因数なので、$P(x)$ を $(x-1)$ で割ると、

$$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x^2 - 5x + 6) = (x-1)(x-2)(x-3)$$

よって、解は $x = 1, 2, 3$ です。

4. 因数定理で多項式を因数分解する

方程式を解くのと同じ手順で、高次式そのものを因数分解することもできます。

4.1. 例題3: 因数定理で因数分解する

$x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ を因数分解しなさい。

$x=-1$ を代入すると、

$$(-1)^3 + 2(-1)^2 - 5(-1) - 6 = -1 + 2 + 5 - 6 = 0$$

よって $(x+1)$ が因数です。割り算すると商は $x^2+x-6=(x+3)(x-2)$ となるので、

$$x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = (x+1)(x+3)(x-2)$$

（本文中への画像挿入案: /images/math-2/jouyo-insuu-teiri-syoho.png、alt=「多項式の割り算と剰余の定理の関係を示した図」をこのセクションの下に配置すると、P(x)=(x-a)Q(x)+Rの構造が視覚的に伝わりやすくなります。)

5. クイズ

1. $P(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5$ を $x+1$ で割った余りを求めなさい。

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     正解: $-11$。剰余の定理より、余りは $P(-1) = 2(-1)^3-3(-1)^2+(-1)-5=-2-3-1-5=-11$。

2. $P(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$ は $x-1$ を因数に持つか判定し、持つ場合は因数分解しなさい。

   • 答えを見る

     正解: $P(1)=1-2-1+2=0$ なので因数に持つ。割り算すると商は $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$ なので、$P(x)=(x-1)(x-2)(x+1)$。