円の方程式と軌跡の求め方をわかりやすく解説

1. 円の方程式の基本形

中心 $(a, b)$、半径 $r$ の円は、次の方程式で表されます。

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$

これは、円周上の点 $(x, y)$ と中心 $(a,b)$ の距離が常に $r$ であることを、そのまま距離の公式で表した式です。

1.1. 例題1: 中心と半径から方程式を求める

中心 $(2, -3)$、半径 $4$ の円の方程式を求めなさい。

基本形にそのまま代入すると、

$$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$$

2. 一般形から中心・半径を求める(平方完成)

円の方程式は、展開すると次のような一般形でも表せます。

$$x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$$

一般形から中心・半径を求めるには、平方完成 を $x$、$y$ それぞれについて行います。

2.1. 例題2: 一般形から中心・半径を求める

$x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$ の中心と半径を求めなさい。

$x$、$y$ それぞれについて平方完成します。

$(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) - 3 = 0$ $(x-2)^2 - 4 + (y+3)^2 - 9 - 3 = 0$ $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 16$

よって、中心 $(2, -3)$、半径 $4$ の円です(例題1のちょうど逆の問題になっています)。

3. 軌跡の求め方

軌跡とは、ある条件を満たす点全体が描く図形のことです。軌跡の方程式は、次の手順で求めます。

1. 求める軌跡上の点を $P(x, y)$ とおく
2. 条件を $x, y$ の式で表す
3. 式を整理して、どんな図形になるかを見抜く

（本文中への画像挿入案: /images/math-2/en-no-houteishiki-kiseki.png、alt=「2点からの距離の比が一定になる点の軌跡(アポロニウスの円)を示した図」をこのセクションの下に配置すると、条件を満たす点の集まりが円になる様子が伝わりやすくなります。)

3.1. 例題3: 軌跡の方程式を求める

2点 $A(0,0)$、$B(6,0)$ から、$AP:BP = 1:2$ となる点 $P$ の軌跡を求めなさい。

$P(x, y)$ とおくと、条件 $2AP = BP$ より $4AP^2 = BP^2$ が成り立ちます。

$4(x^2 + y^2) = (x-6)^2 + y^2$ $4x^2 + 4y^2 = x^2 - 12x + 36 + y^2$ $3x^2 + 3y^2 + 12x - 36 = 0$ $x^2 + y^2 + 4x - 12 = 0$

平方完成すると、

$$(x+2)^2 - 4 + y^2 - 12 = 0 \quad \Longrightarrow \quad (x+2)^2 + y^2 = 16$$

よって、点 $P$ の軌跡は、中心 $(-2, 0)$、半径 $4$ の円です。

4. クイズ

1. 中心 $(-1, 5)$、半径 $3$ の円の方程式を求めなさい。

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     正解: $(x+1)^2 + (y-5)^2 = 9$。

2. 円 $x^2 + y^2 + 2x - 8y + 8 = 0$ の中心と半径を求めなさい。

   • 答えを見る

     正解: 中心 $(-1, 4)$、半径 $3$。平方完成すると $(x+1)^2 - 1 + (y-4)^2 - 16 + 8 = 0$ より $(x+1)^2+(y-4)^2=9$。