面積の計算【定積分と面積・2曲線間の面積】

定積分は「符号付き面積」を表しますが、実際の面積を求めるには符号に注意が必要です。グラフを描いて $x$ 軸との位置関係を確認しながら計算する習慣をつけましょう。

1. 定積分と面積の関係

$f(x) \geq 0$ のとき、曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸の間の面積 $S$ は：

$$S = \int_a^b f(x)\,dx$$

しかし $f(x) < 0$ の部分では定積分は負の値になるため、面積を求めるには絶対値を取る必要があります。

$$\boxed{S = \int_a^b |f(x)|\,dx}$$

2. $x$ 軸との面積

2.1. $f(x) \geq 0$ の場合

面積 = $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$（そのまま計算）

2.2. $f(x) \leq 0$ の場合

面積 = $-\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$（符号を反転）

2.3. 途中で符号が変わる場合

区間 $[a, b]$ の中で $f(x) = 0$ となる点 $c$（$a < c < b$）があるとき：

$$S = \int_a^c f(x)\,dx - \int_c^b f(x)\,dx \quad \text{（符号が } + \to - \text{ の場合）}$$

実際には $\displaystyle\int_a^b |f(x)|\,dx$ を区間を分けて計算します。

2.4. 例題1：$x$ 軸との面積（符号変化あり）

曲線 $y = x^2 - 4$ と $x$ 軸で囲まれた面積を求めよ。

解答

$$x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2$$

$-2 \leq x \leq 2$ では $f(x) = x^2 - 4 \leq 0$

$$S = -\int_{-2}^{2}(x^2 - 4)\,dx$$

偶関数なので：

$$= -2\int_0^2(x^2 - 4)\,dx = -2\left[\frac{x^3}{3} - 4x\right]_0^2 = -2\left(\frac{8}{3} - 8\right) = -2 \times \left(-\frac{16}{3}\right) = \frac{32}{3}$$ $$\boxed{S = \frac{32}{3}}$$

3. 2 曲線間の面積

2 つの曲線 $y = f(x)$ と $y = g(x)$ で $f(x) \geq g(x)$ のとき、2 曲線間の面積：

$$\boxed{S = \int_a^b \{f(x) - g(x)\}\,dx}$$

$a$、$b$ は 2 曲線の交点の $x$ 座標です。

3.1. 例題2：2 曲線間の面積

$y = x^2$ と $y = x + 2$ で囲まれた面積を求めよ。

解答

交点を求める：

$$x^2 = x + 2 \Rightarrow x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1) = 0 \Rightarrow x = -1, \; 2$$

$-1 \leq x \leq 2$ で $x + 2 \geq x^2$（直線が上）：

$$S = \int_{-1}^{2}(x + 2 - x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2}$$ $$= \left(2 + 4 - \frac{8}{3}\right) - \left(\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3}\right)$$ $$= \left(6 - \frac{8}{3}\right) - \left(-\frac{7}{6}\right)$$ $$= \frac{18 - 8}{3} + \frac{7}{6} = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$$ $$\boxed{S = \frac{9}{2}}$$

4. 面積計算の便利な公式

4.1. 二次曲線と直線で囲まれた面積

$y = ax^2 + \cdots$ と直線 $y = \ell(x)$ の交点が $x = \alpha, \beta$ のとき：

$$S = \frac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$$

例題2 で確認：$a = 1$（$x^2$ の係数）、$\alpha = -1$、$\beta = 2$

$$S = \frac{1}{6}(2 - (-1))^3 = \frac{1}{6} \times 27 = \frac{9}{2} \quad \checkmark$$

4.2. 三次曲線と直線で囲まれた面積

$y = ax^3 + \cdots$ と直線が 2 か所で交わる場合は成立しませんが、同じ三次曲線が接線と接して囲む面積には：

$$S = \frac{|a|}{12}(\beta - \alpha)^4 \quad \text{（三次曲線が接する場合）}$$

5. 例題3：面積計算（符号変化を含む）

$y = x^3 - x$ と $x$ 軸で囲まれた面積の合計を求めよ。

解答

$$x^3 - x = x(x-1)(x+1) = 0 \Rightarrow x = -1, 0, 1$$

• $-1 \leq x \leq 0$：$f(x) \leq 0$
• $0 \leq x \leq 1$：$f(x) \geq 0$

$$S_1 = -\int_{-1}^{0}(x^3 - x)\,dx, \quad S_2 = \int_0^1(x^3 - x)\,dx$$ $$\int(x^3 - x)\,dx = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}$$ $$\int_{-1}^{0}(x^3 - x)\,dx = 0 - \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}$$ $$S_1 = -\frac{1}{4} \times (-1) = \frac{1}{4}$$ $$\int_0^1(x^3 - x)\,dx = \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right) - 0 = -\frac{1}{4}$$ $$S_2 = -\left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4}$$

対称性から確認できます（$f(x) = x^3 - x$ は奇関数）。

$$S = S_1 + S_2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \boxed{\frac{1}{2}}$$

6. 例題4：2 放物線で囲まれた面積

$y = x^2 - 2x$ と $y = -x^2 + 4$ で囲まれた面積を求めよ。

解答

交点：$x^2 - 2x = -x^2 + 4 \Rightarrow 2x^2 - 2x - 4 = 0 \Rightarrow x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1) = 0$

$$x = -1, 2$$

$-1 \leq x \leq 2$ で $-x^2 + 4 \geq x^2 - 2x$（確認：$x = 0$ を代入 → $4 \geq 0$ ✓）：

$$S = \int_{-1}^{2}\{(-x^2+4) - (x^2-2x)\}\,dx = \int_{-1}^{2}(-2x^2 + 2x + 4)\,dx$$ $$= \left[-\frac{2x^3}{3} + x^2 + 4x\right]_{-1}^{2}$$ $$= \left(-\frac{16}{3} + 4 + 8\right) - \left(\frac{2}{3} + 1 - 4\right) = \left(\frac{-16+36}{3}\right) - \left(\frac{2-9}{3}\right) = \frac{20}{3} - \left(-\frac{7}{3}\right) = \frac{27}{3} = 9$$ $$\boxed{S = 9}$$

7. まとめ

---

8. 関連記事

• 積分法の基本
• 微分法の基本

---

9. クイズ

問題1：$y = x^2 - 1$ と $x$ 軸で囲まれた面積を求めよ。

答えを見る

交点：$x = \pm 1$、$-1 \leq x \leq 1$ で $f(x) \leq 0$

$$S = -\int_{-1}^{1}(x^2 - 1)\,dx = -2\int_0^1(x^2 - 1)\,dx = -2\left[\frac{x^3}{3} - x\right]_0^1 = -2\left(\frac{1}{3} - 1\right) = \frac{4}{3}$$

問題2：$y = x^2$ と $y = 2x$ で囲まれた面積を求めよ。

答えを見る

交点：$x^2 = 2x \Rightarrow x(x-2) = 0 \Rightarrow x = 0, 2$

$0 \leq x \leq 2$ で $2x \geq x^2$：

$$S = \int_0^2(2x - x^2)\,dx = \left[x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$$

または公式：$S = \dfrac{1}{6}(2-0)^3 = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$ ✓

問題3：$y = x^3 - 3x^2$ と直線 $y = -4$ で囲まれた面積を求めよ。

答えを見る

交点：$x^3 - 3x^2 = -4 \Rightarrow x^3 - 3x^2 + 4 = (x+1)(x-2)^2 = 0 \Rightarrow x = -1, 2$

$-1 \leq x \leq 2$ で $f(x) - (-4) = x^3 - 3x^2 + 4 \geq 0$（境界が交点なので確認不要）：

$$S = \int_{-1}^{2}(x^3 - 3x^2 + 4)\,dx = \left[\frac{x^4}{4} - x^3 + 4x\right]_{-1}^{2}$$ $$= (4 - 8 + 8) - \left(\frac{1}{4} + 1 - 4\right) = 4 - \left(-\frac{11}{4}\right) = 4 + \frac{11}{4} = \frac{27}{4}$$