軌跡と領域【連立不等式・領域の図示】

1. 軌跡とは

軌跡（きせき）とは、ある条件を満たす点 $\mathrm{P}$ がすべて集まってできる図形のことです。軌跡を求めるとは、その図形の方程式を求めることです。

1.1. 軌跡の求め方

1. 求めたい点を $\mathrm{P}(x, y)$ とおく。
2. 問題の条件を $x, y$ の式で表す。
3. 条件式を整理して軌跡の方程式を求める。
4. 必要なら $x$（または $y$）の範囲を確認する。

1.2. 例題1：2 定点からの距離が等しい点の軌跡

$\mathrm{A}(2, 0)$ と $\mathrm{B}(-2, 0)$ から等距離にある点 $\mathrm{P}(x, y)$ の軌跡を求めよ。

解答

$$|\mathrm{PA}| = |\mathrm{PB}|$$ $$\sqrt{(x-2)^2 + y^2} = \sqrt{(x+2)^2 + y^2}$$

両辺を 2 乗して：

$$(x-2)^2 + y^2 = (x+2)^2 + y^2$$ $$x^2 - 4x + 4 = x^2 + 4x + 4$$ $$-8x = 0 \Rightarrow x = 0$$

軌跡は $y$ 軸（$x = 0$）。これは $\mathrm{AB}$ の垂直二等分線です。

1.3. 例題2：比が一定の点の軌跡（アポロニウスの円）

$\mathrm{A}(1, 0)$、$\mathrm{B}(-1, 0)$ に対して $\dfrac{|\mathrm{PA}|}{|\mathrm{PB}|} = 2$ を満たす点 $\mathrm{P}$ の軌跡を求めよ。

解答

$\mathrm{P}(x, y)$ として $|\mathrm{PA}|^2 = 4|\mathrm{PB}|^2$：

$$(x-1)^2 + y^2 = 4\left[(x+1)^2 + y^2\right]$$ $$x^2 - 2x + 1 + y^2 = 4x^2 + 8x + 4 + 4y^2$$ $$3x^2 + 10x + 3y^2 + 3 = 0$$ $$x^2 + \frac{10}{3}x + y^2 + 1 = 0$$ $$\left(x + \frac{5}{3}\right)^2 + y^2 = \frac{25}{9} - 1 = \frac{16}{9}$$

軌跡は中心 $\left(-\dfrac{5}{3}, 0\right)$、半径 $\dfrac{4}{3}$ の円（アポロニウスの円）。

2. 領域とは

不等式 $f(x, y) \geq 0$ や連立不等式が成り立つ点 $(x, y)$ 全体の集合を領域（りょういき）と言います。

2.1. 不等式と領域の対応

• 直線 $ax + by + c = 0$ は平面を 2 つの半平面に分ける。
• 具体的な点（例：原点 $(0, 0)$）を代入して、どちら側かを確認する。

2.2. 例題3：連立不等式の領域

次の連立不等式の表す領域を図示せよ。

$$\begin{cases} x + y \leq 4 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$$

解答

• $x + y \leq 4$：直線 $x + y = 4$ の下側（原点を含む）
• $x \geq 0$：$y$ 軸の右側
• $y \geq 0$：$x$ 軸の上側

3 条件すべてを満たす領域は、原点・$(4,0)$・$(0,4)$ を頂点とする三角形の内部（境界を含む）。

3. 領域における最大値・最小値

線形計画法：領域内で $ax + by$ の最大・最小を求める問題。

方針：$ax + by = k$ とおき、$k$ を動かしながら直線 $ax + by = k$ が領域と交わる位置を調べる。通常、最大・最小は領域の頂点で達成される。

3.1. 例題4：領域内での最大値

$$\begin{cases} x + y \leq 4 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$$

の領域内で $z = 2x + 3y$ の最大値を求めよ。

解答

頂点の座標：$(0, 0)$、$(4, 0)$、$(0, 4)$

各頂点での $z = 2x + 3y$：

最大値は $\boxed{12}$（$(0, 4)$ のとき）。

3.2. 例題5：境界線の交点が最大点になる場合

$$\begin{cases} x + 2y \leq 6 \\ 2x + y \leq 6 \\ x \geq 0,\; y \geq 0 \end{cases}$$

の領域内で $z = x + y$ の最大値を求めよ。

解答

境界線 $x + 2y = 6$ と $2x + y = 6$ の交点：

$$\begin{cases} x + 2y = 6 \\ 2x + y = 6 \end{cases} \Rightarrow x = 2, \; y = 2$$

頂点：$(0, 0)$、$(3, 0)$、$(2, 2)$、$(0, 3)$

最大値は $\boxed{4}$（$(2, 2)$ のとき）。

4. 軌跡と領域の違いのまとめ

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5. 関連記事

• 点と直線の方程式
• 円の方程式

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6. クイズ

問題1：$\mathrm{A}(3, 0)$ と $\mathrm{B}(0, 3)$ から等距離にある点の軌跡を求めよ。

答えを見る

$\mathrm{P}(x, y)$ として $|\mathrm{PA}|^2 = |\mathrm{PB}|^2$：

$$(x-3)^2 + y^2 = x^2 + (y-3)^2$$ $$x^2 - 6x + 9 + y^2 = x^2 + y^2 - 6y + 9$$ $$-6x = -6y \Rightarrow y = x$$

軌跡は直線 $y = x$（線分 $\mathrm{AB}$ の垂直二等分線）。

問題2：$x + y \leq 3$、$x \geq 1$、$y \geq 0$ の領域内で $z = x + 2y$ の最大値を求めよ。

答えを見る

頂点：$(1, 0)$、$(3, 0)$、$(1, 2)$

頂点	$z = x + 2y$
$(1, 0)$	$1$
$(3, 0)$	$3$
$(1, 2)$	$5$

最大値は 5（$(1, 2)$ のとき）。

問題3：点 $\mathrm{P}$ が円 $x^2 + y^2 = 1$ 上を動くとき、$\mathrm{P}$ と点 $\mathrm{A}(3, 0)$ を $1:2$ に内分する点 $\mathrm{Q}$ の軌跡を求めよ。

答えを見る

$\mathrm{P}(a, b)$（$a^2 + b^2 = 1$）として $\mathrm{Q}(x, y)$ は $\mathrm{PA}$ を $1:2$ に内分：

$$x = \frac{1 \cdot 3 + 2a}{3} = \frac{3 + 2a}{3}, \quad y = \frac{2b}{3}$$

$a = \dfrac{3x - 3}{2}$、$b = \dfrac{3y}{2}$ を $a^2 + b^2 = 1$ に代入：

$$\frac{(3x-3)^2}{4} + \frac{9y^2}{4} = 1$$ $$(x-1)^2 + y^2 = \frac{4}{9}$$

中心 $(1, 0)$、半径 $\dfrac{2}{3}$ の円。