増減・極値・最大最小【微分の応用・グラフの描き方】

微分の最も重要な応用は、関数のグラフの形を正確に調べることです。増減表を使って極値・最大値・最小値を体系的に求める方法をマスターしましょう。

1. 関数の増減と導関数の符号

$f'(x)$ の符号が分かると、$f(x)$ の増減が分かります。

$$f'(x) > 0 \Rightarrow f(x) \text{ は増加}$$ $$f'(x) < 0 \Rightarrow f(x) \text{ は減少}$$ $$f'(x) = 0 \Rightarrow \text{接線が水平（増減が変わる可能性）}$$

2. 極値とは

$x = a$ の前後で $f'(x)$ の符号が変わるとき：

• $f'(x)$ が $+$ から $-$ に変わる → $f(a)$ は極大値（きょくだいち）
• $f'(x)$ が $-$ から $+$ に変わる → $f(a)$ は極小値（きょくしょうち）

極大値・極小値を合わせて極値（きょくち）と言います。

注意：$f'(a) = 0$ でも符号が変わらなければ極値ではありません（例：$f(x) = x^3$ の $x = 0$）。

3. 増減表の書き方

手順

1. $f'(x)$ を計算する。
2. $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求める。
3. $f'(x)$ の符号を区間ごとに調べる。
4. $f(x)$ の増減を表にまとめる。

3.1. 例題1：三次関数の増減と極値

$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ の増減表を作り、極値を求めよ。

解答

$$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x + 1)(x - 3)$$ $$f'(x) = 0 \Rightarrow x = -1, \; 3$$

増減表：

$$f(-1) = -1 - 3 + 9 + 5 = 10 \quad \text{（極大値）}$$ $$f(3) = 27 - 27 - 27 + 5 = -22 \quad \text{（極小値）}$$ $$\therefore \text{極大値} = 10 \; (x = -1), \quad \text{極小値} = -22 \; (x = 3)$$

4. グラフの描き方

増減表をもとに、以下の情報を使ってグラフを描きます：

1. $y$ 切片：$f(0)$ の値
2. $x$ 切片：$f(x) = 0$ の解（因数分解できるとき）
3. 極値の座標
4. $x \to \pm\infty$ の挙動（最高次の係数の符号）

4.1. 例題2：グラフの概形

例題1 の $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ のグラフの概形を描け。

ポイント

• $y$ 切片：$f(0) = 5$
• $x \to +\infty$ のとき $f(x) \to +\infty$、$x \to -\infty$ のとき $f(x) \to -\infty$
• 極大点 $(-1, 10)$、極小点 $(3, -22)$

5. 閉区間での最大値・最小値

閉区間 $[a, b]$ における最大値・最小値は：

1. 区間内で $f'(x) = 0$ となる点の $f$ の値
2. 端点 $f(a)$、$f(b)$ の値

これらをすべて比較して最大・最小を選びます。

5.1. 例題3：閉区間での最大最小

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ について、$-1 \leq x \leq 4$ での最大値と最小値を求めよ。

解答

$$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$$

$f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0, \; 2$（どちらも区間内）

各点での $f$ の値：

$$\text{最大値} = 18 \; (x = 4), \quad \text{最小値} = -2 \; (x = -1 \text{ または } x = 2)$$

6. 例題4：最適化問題（応用）

底面の半径 $r$、高さ $h$ の円柱の体積が $16\pi$ のとき、表面積を最小にする $r$ と $h$ を求めよ。

解答

体積条件：$\pi r^2 h = 16\pi \Rightarrow h = \dfrac{16}{r^2}$

表面積：$S = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \dfrac{16}{r^2} = 2\pi r^2 + \dfrac{32\pi}{r}$

$$S'(r) = 4\pi r - \frac{32\pi}{r^2} = \frac{4\pi(r^3 - 8)}{r^2}$$ $$S'(r) = 0 \Rightarrow r^3 = 8 \Rightarrow r = 2$$

$r < 2$ で $S' < 0$、$r > 2$ で $S' > 0$ なので $r = 2$ で極小（かつ最小）。

$$h = \dfrac{16}{4} = 4$$ $$\therefore r = 2, \; h = 4 \text{ のとき表面積最小}$$

7. $f'(a) = 0$ でも極値でない場合

$f(x) = x^3$ のとき $f'(x) = 3x^2$、$f'(0) = 0$ ですが：

$x = 0$ の前後で $f'(x)$ の符号が変わらないので、$x = 0$ は極値ではありません（変曲点）。

8. まとめ

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9. 関連記事

• 微分法の基本
• 積分法の基本

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10. クイズ

問題1：$f(x) = x^3 - 3x$ の極大値と極小値を求めよ。

答えを見る

$$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$$ $$f'(x) = 0 \Rightarrow x = \pm 1$$

• $x = -1$：$f(-1) = -1 + 3 = 2$（極大値）
• $x = 1$：$f(1) = 1 - 3 = -2$（極小値）

問題2：$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ が $[0, 4]$ で最大値・最小値をとる $x$ を求めよ。

答えを見る

$$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)$$ $$f'(x) = 0 \Rightarrow x = 1, 3$$

$x$	$0$	$1$	$3$	$4$
$f(x)$	$1$	$5$	$1$	$5$

最大値 = 5（$x = 1$ または $x = 4$）、最小値 = 1（$x = 0$ または $x = 3$）

問題3：$f(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x - 5$ の極大値・極小値を求めよ。

答えを見る

$$f'(x) = -3x^2 + 6x + 9 = -3(x^2 - 2x - 3) = -3(x-3)(x+1)$$ $$f'(x) = 0 \Rightarrow x = -1, 3$$

• $x = -1$（前後 $-$ から $+$）：極小値 $f(-1) = 1 + 3 - 9 - 5 = -10$
• $x = 3$（前後 $+$ から $-$）：極大値 $f(3) = -27 + 27 + 27 - 5 = 22$