微分法の基本【導関数・接線の方程式】

微分は「変化の速さ」を求める数学の手法です。グラフの接線の傾きや、関数の増減・極値を調べるために不可欠な概念です。

1. 平均変化率

関数 $y = f(x)$ において、$x$ が $a$ から $a + h$ まで変化したときの平均変化率：

$$\frac{f(a + h) - f(a)}{h}$$

これはグラフ上の 2 点 $(a, f(a))$ と $(a+h, f(a+h))$ を結ぶ割り線（せかんと線）の傾きです。

2. 微分係数（導関数の定義）

$h \to 0$ としたときの平均変化率の極限を微分係数と言い、$f'(a)$ と書きます。

$$\boxed{f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}}$$

これは点 $(a, f(a))$ における接線の傾きを表します。

2.1. 例題1：定義から微分係数を求める

$f(x) = x^2$ における $x = 2$ での微分係数を定義から求めよ。

解答

$$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{(2+h)^2 - 4}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{4 + 4h + h^2 - 4}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{4h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (4 + h) = 4$$

3. 導関数

$x$ のすべての点で微分係数を対応させた関数を導関数と言い、$f'(x)$、$y'$、または $\dfrac{dy}{dx}$ と書きます。

$$\boxed{f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}}$$

4. 微分の公式

4.1. 基本公式

4.2. 積の微分（ライプニッツ則）

$$\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

4.3. 例題2：導関数を求める

次の関数を微分せよ。

(1) $f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$

(2) $g(x) = (x^2 + 1)(2x - 3)$

解答(1)

$$f'(x) = 12x^3 - 6x^2 + 5$$

解答(2)

積の微分を使う：

$$\begin{align} g'(x) &= (x^2 + 1)' (2x - 3) + (x^2 + 1)(2x - 3)' \\ &= 2x(2x - 3) + (x^2 + 1) \cdot 2 \\ &= 4x^2 - 6x + 2x^2 + 2 \\ &= 6x^2 - 6x + 2 \end{align}$$

別法（展開してから微分）：

$$g(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 3 \Rightarrow g'(x) = 6x^2 - 6x + 2 \quad \checkmark$$

5. 接線の方程式

曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(a, f(a))$ における接線の方程式：

$$\boxed{y - f(a) = f'(a)(x - a)}$$

傾きは微分係数 $f'(a)$ です。

5.1. 例題3：接線の方程式

曲線 $y = x^3 - 3x + 2$ 上の点 $(2, 4)$ における接線の方程式を求めよ。

解答

まず点 $(2, 4)$ が曲線上にあるか確認：$2^3 - 3 \cdot 2 + 2 = 8 - 6 + 2 = 4$ ✓

$f'(x) = 3x^2 - 3$、$f'(2) = 12 - 3 = 9$

接線：$y - 4 = 9(x - 2) \Rightarrow \boxed{y = 9x - 14}$

5.2. 例題4：接線が平行になる点

曲線 $y = x^3$ 上で、直線 $y = 3x - 1$ に平行な接線の方程式を求めよ。

解答

平行な接線の傾き = $3$

$$f'(x) = 3x^2 = 3 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$$

• $x = 1$ のとき $y = 1$、接線：$y - 1 = 3(x - 1) \Rightarrow y = 3x - 2$
• $x = -1$ のとき $y = -1$、接線：$y + 1 = 3(x + 1) \Rightarrow y = 3x + 2$

6. 法線の方程式

曲線の法線は接線に垂直な直線です。接線の傾きが $f'(a)$ なら、法線の傾きは $-\dfrac{1}{f'(a)}$（$f'(a) \neq 0$ のとき）：

$$y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)}(x - a)$$

7. 微分法の記号まとめ

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8. 関連記事

• 増減・極値・最大最小
• 積分法の基本

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9. クイズ

問題1：$f(x) = 2x^3 - 4x^2 + x - 1$ を微分せよ。

答えを見る

$$f'(x) = 6x^2 - 8x + 1$$

問題2：曲線 $y = x^2 - 3x$ 上の点 $(3, 0)$ における接線の方程式を求めよ。

答えを見る

$f'(x) = 2x - 3$、$f'(3) = 3$

接線：$y - 0 = 3(x - 3) \Rightarrow y = 3x - 9$

問題3：点 $(0, -1)$ から曲線 $y = x^2$ に引いた接線の方程式を求めよ。

答えを見る

接点を $(t, t^2)$ とすると、接線の傾きは $f'(t) = 2t$。

接線：$y - t^2 = 2t(x - t) \Rightarrow y = 2tx - t^2$

点 $(0, -1)$ を通るので：$-1 = -t^2 \Rightarrow t = \pm 1$

• $t = 1$：$y = 2x - 1$
• $t = -1$：$y = -2x - 1$