高次方程式の解き方【因数分解・組立除法・数値解】

三次以上の方程式を高次方程式と言います。高次方程式を解くカギは、因数定理と組立除法を組み合わせて次数を下げることです。

1. 解く方針

$$f(x) = 0 \quad (f(x) \text{ が 3 次以上})$$

基本戦略：$f(\alpha) = 0$ となる $\alpha$ を 1 つ見つけ、$f(x) = (x - \alpha) \cdot Q(x)$ と因数分解する。

1.1. 因数定理の復習

$f(\alpha) = 0$ ならば、$f(x)$ は $(x - \alpha)$ を因数に持つ。

整数係数の多項式 $f(x) = a_n x^n + \cdots + a_0$ に対し、有理数解の候補は：

$$x = \pm \frac{(\text{定数項 } a_0 \text{ の約数})}{(\text{最高次係数 } a_n \text{ の約数})}$$

2. 例題1：三次方程式の基本

$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ を解け。

解答

$f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ として整数解の候補を探す（定数項の約数：$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$）。

$$f(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0 \quad \checkmark$$

よって $x = 1$ が解。組立除法で割る（$k = 1$）：

$$\begin{array}{c|cccc} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 1 & -5 & 6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array}$$

商は $x^2 - 5x + 6$。さらに因数分解：

$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$$

よって：

$$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x-2)(x-3) = 0$$

解：$\boxed{x = 1, \; 2, \; 3}$

3. 例題2：重解を含む三次方程式

$x^3 - 3x + 2 = 0$ を解け。

解答

$$f(x) = x^3 - 3x + 2$$ $$f(1) = 1 - 3 + 2 = 0 \quad \checkmark$$

組立除法（$k = 1$）：

$$\begin{array}{c|cccc} 1 & 1 & 0 & -3 & 2 \\ & & 1 & 1 & -2 \\ \hline & 1 & 1 & -2 & 0 \end{array}$$

商 $x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$

$$f(x) = (x - 1)(x + 2)(x - 1) = (x-1)^2(x+2) = 0$$

解：$\boxed{x = 1 \; (\text{重解}), \; x = -2}$

4. 例題3：複素数の解を含む場合

$x^3 + x^2 + x - 3 = 0$ を解け（複素数の範囲で）。

解答

$$f(1) = 1 + 1 + 1 - 3 = 0 \quad \checkmark$$

組立除法（$k = 1$）：

$$\begin{array}{c|cccc} 1 & 1 & 1 & 1 & -3 \\ & & 1 & 2 & 3 \\ \hline & 1 & 2 & 3 & 0 \end{array}$$

商 $x^2 + 2x + 3$ の判別式：$D = 4 - 12 = -8 < 0$

$$x = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}\,i}{2} = -1 \pm \sqrt{2}\,i$$

解：$\boxed{x = 1, \; x = -1 \pm \sqrt{2}\,i}$

5. 例題4：四次方程式

$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ を解け。

解答

$x^2 = t$ と置くと：

$$t^2 - 5t + 4 = (t - 1)(t - 4) = 0$$

$t = 1 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$ $t = 4 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$

解：$\boxed{x = \pm 1, \; \pm 2}$

6. 解の個数に関する定理

$n$ 次方程式は複素数の範囲で（重複を込めて）ちょうど $n$ 個の解を持つ（代数学の基本定理）。実係数の方程式では虚数解は必ず共役なペアで現れます。

7. 連立方程式への応用

高次方程式の因数分解の手法は、「整式の約数になる因数を探す」すべての問題に応用できます。

7.1. 解き方の総まとめ

Step 1: 整数解の候補を列挙（定数項と最高次係数の約数）
Step 2: 代入して f(α) = 0 となる α を見つける
Step 3: 組立除法で (x - α) で割る
Step 4: 商に対して同じ操作を繰り返す、または因数分解・解の公式で解く
Step 5: 得られた全因数を 0 とおき、解を求める

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8. 関連記事

• 剰余定理・因数定理
• 多項式と除法
• 複素数と二次方程式

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9. クイズ

問題1：$x^3 - 7x + 6 = 0$ を解け。

答えを見る

$f(1) = 1 - 7 + 6 = 0$ なので $x = 1$ が解。

組立除法で $(x-1)$ で割ると商 $x^2 + x - 6 = (x+3)(x-2)$。

解：$x = 1, \; 2, \; -3$

問題2：$x^4 - 1 = 0$ を複素数の範囲で解け。

答えを見る

$$x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x-1)(x+1)(x^2+1) = 0$$ $$x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x = \pm i$$

解：$x = 1, \; -1, \; i, \; -i$

問題3：$x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0$ を解け。

答えを見る

$f(1) = 1 + 2 - 1 - 2 = 0$ なので $x = 1$ が解。

組立除法：商 $x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)$

解：$x = 1, \; -1, \; -2$