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倍角・半角・積和公式【三角関数の変換】

公開日: 2026/7/11

📐 公式まとめ

  • 1. 加法定理（復習）

    sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta

  • 1. 加法定理（復習）

    cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta

  • 1. 加法定理（復習）

    tan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}

  • 2. 倍角公式

    sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\boxed{\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha}

  • 2. 倍角公式

    cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=1−2sin⁡2α=2cos⁡2α−1\boxed{\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1}

  • 2. 倍角公式

    tan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α\boxed{\tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}}

  • 3. 半角公式

    cos⁡2α=1−2sin⁡2α⇒sin⁡2α=1−cos⁡2α2\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha \Rightarrow \sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}

  • 3. 半角公式

    sin⁡2θ2=1−cos⁡θ2\boxed{\sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{2}}

  • 3. 半角公式

    cos⁡2θ2=1+cos⁡θ2\boxed{\cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos\theta}{2}}

  • 3. 半角公式

    tan⁡2θ2=1−cos⁡θ1+cos⁡θ\boxed{\tan^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}}

  • 4. 三倍角公式（参考）

    sin⁡3α=3sin⁡α−4sin⁡3α\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha

  • 4. 三倍角公式（参考）

    cos⁡3α=4cos⁡3α−3cos⁡α\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha

  • 5. 積和公式

    cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)=2cos⁡αcos⁡β\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) = 2\cos\alpha\cos\beta

  • 5. 積和公式

    cos⁡αcos⁡β=12[cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)]\boxed{\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\left[\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)\right]}

  • 5. 積和公式

    sin⁡αsin⁡β=12[cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)]\boxed{\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}\left[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)\right]}

  • 5. 積和公式

    sin⁡αcos⁡β=12[sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)]\boxed{\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\left[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)\right]}

  • 6. 和積公式

    sin⁡A+sin⁡B=2sin⁡A+B2cos⁡A−B2\boxed{\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}}

  • 6. 和積公式

    sin⁡A−sin⁡B=2cos⁡A+B2sin⁡A−B2\boxed{\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}}

  • 6. 和積公式

    cos⁡A+cos⁡B=2cos⁡A+B2cos⁡A−B2\boxed{\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}}

  • 6. 和積公式

    cos⁡A−cos⁡B=−2sin⁡A+B2sin⁡A−B2\boxed{\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}}

倍角・半角・積和公式【三角関数の変換】

三角関数の変換公式は加法定理から導かれます。すべて暗記するより、加法定理から導く手順を理解しておくほうが応用が利きます。

1. 加法定理（復習）

sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta tan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}

詳しくは加法定理の解説記事を参照してください。

2. 倍角公式

加法定理で β=α\beta = \alpha とおくと：

sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\boxed{\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha} cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=1−2sin⁡2α=2cos⁡2α−1\boxed{\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1} tan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α\boxed{\tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}}

2.1. cos⁡2α\cos 2\alpha の 3 つの形

形 使う場面
cos⁡2α−sin⁡2α\cos^2\alpha - \sin^2\alpha 一般的な変換
1−2sin⁡2α1 - 2\sin^2\alpha sin⁡2α\sin^2\alpha を消したいとき
2cos⁡2α−12\cos^2\alpha - 1 cos⁡2α\cos^2\alpha を消したいとき

2.2. 例題1：倍角公式の応用

sin⁡α=35\sin\alpha = \dfrac{3}{5}（0<α<π20 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}）のとき、sin⁡2α\sin 2\alpha、cos⁡2α\cos 2\alpha を求めよ。

解答

cos⁡α=1−sin⁡2α=1−925=45\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - \dfrac{9}{25}} = \dfrac{4}{5}（第 1 象限なので正）

sin⁡2α=2×35×45=2425\sin 2\alpha = 2 \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{24}{25} cos⁡2α=1−2sin⁡2α=1−2×925=1−1825=725\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 1 - 2 \times \frac{9}{25} = 1 - \frac{18}{25} = \frac{7}{25}

3. 半角公式

cos⁡2α\cos 2\alpha の変形から：

cos⁡2α=1−2sin⁡2α⇒sin⁡2α=1−cos⁡2α2\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha \Rightarrow \sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}

α\alpha を θ2\dfrac{\theta}{2} に置き換えると：

sin⁡2θ2=1−cos⁡θ2\boxed{\sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{2}} cos⁡2θ2=1+cos⁡θ2\boxed{\cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos\theta}{2}} tan⁡2θ2=1−cos⁡θ1+cos⁡θ\boxed{\tan^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}}

符号は θ2\dfrac{\theta}{2} の象限によって決まります。

3.1. 例題2：半角の値

cos⁡π8\cos\dfrac{\pi}{8} の値を求めよ。

解答

cos⁡π8=cos⁡π/42\cos\dfrac{\pi}{8} = \cos\dfrac{\pi/4}{2} なので半角公式（θ=π4\theta = \dfrac{\pi}{4}）：

cos⁡2π8=1+cos⁡(π/4)2=1+222=2+24\cos^2\frac{\pi}{8} = \frac{1 + \cos(\pi/4)}{2} = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}

0<π8<π20 < \dfrac{\pi}{8} < \dfrac{\pi}{2} なので cos⁡π8>0\cos\dfrac{\pi}{8} > 0：

cos⁡π8=2+22\cos\frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}

4. 三倍角公式（参考）

sin⁡3α=3sin⁡α−4sin⁡3α\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha cos⁡3α=4cos⁡3α−3cos⁡α\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha

これらは倍角公式と加法定理を組み合わせて導けます。

5. 積和公式

積を和（差）に変換するには、加法定理の和・差を足し引きします。

cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)=2cos⁡αcos⁡β\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) = 2\cos\alpha\cos\beta cos⁡αcos⁡β=12[cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)]\boxed{\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\left[\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)\right]}

同様に：

sin⁡αsin⁡β=12[cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)]\boxed{\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}\left[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)\right]} sin⁡αcos⁡β=12[sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)]\boxed{\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\left[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)\right]}

5.1. 例題3：積を和に変換

sin⁡75°⋅sin⁡15°\sin 75° \cdot \sin 15° を計算せよ。

解答

sin⁡75°⋅sin⁡15°=12[cos⁡(75°−15°)−cos⁡(75°+15°)]\sin 75° \cdot \sin 15° = \frac{1}{2}\left[\cos(75° - 15°) - \cos(75° + 15°)\right] =12[cos⁡60°−cos⁡90°]=12[12−0]=14= \frac{1}{2}\left[\cos 60° - \cos 90°\right] = \frac{1}{2}\left[\frac{1}{2} - 0\right] = \frac{1}{4}

6. 和積公式

和（差）を積に変換するには、積和公式で α+β=A\alpha + \beta = A、α−β=B\alpha - \beta = B と置き換えます（α=A+B2\alpha = \dfrac{A+B}{2}、β=A−B2\beta = \dfrac{A-B}{2}）。

sin⁡A+sin⁡B=2sin⁡A+B2cos⁡A−B2\boxed{\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}} sin⁡A−sin⁡B=2cos⁡A+B2sin⁡A−B2\boxed{\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}} cos⁡A+cos⁡B=2cos⁡A+B2cos⁡A−B2\boxed{\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}} cos⁡A−cos⁡B=−2sin⁡A+B2sin⁡A−B2\boxed{\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}}

6.1. 例題4：和を積に変換

sin⁡75°+sin⁡15°\sin 75° + \sin 15° を計算せよ。

解答

sin⁡75°+sin⁡15°=2sin⁡75°+15°2cos⁡75°−15°2\sin 75° + \sin 15° = 2\sin\frac{75°+15°}{2}\cos\frac{75°-15°}{2} =2sin⁡45°cos⁡30°=2×22×32=62= 2\sin 45°\cos 30° = 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}

7. まとめ：公式の導き方のポイント

加法定理（暗記）
  │
  ├─ β = α を代入 → 倍角公式
  │
  ├─ cos 2α を変形 → 半角公式
  │
  └─ 加法定理の和・差 → 積和公式
                          │
                          └─ 文字を置き換え → 和積公式

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9. クイズ

問題1：cos⁡α=−13\cos\alpha = -\dfrac{1}{3}（π<α<3π2\pi < \alpha < \dfrac{3\pi}{2}）のとき sin⁡2α\sin 2\alpha を求めよ。

答えを見る

第 3 象限なので sin⁡α<0\sin\alpha < 0。

sin⁡α=−1−19=−223\sin\alpha = -\sqrt{1 - \frac{1}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3} sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α=2×(−223)×(−13)=429\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \times \left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) \times \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{4\sqrt{2}}{9}

問題2：cos⁡2θ−sin⁡2θ=cos⁡2θ\cos^2\theta - \sin^2\theta = \cos 2\theta を使って 2cos⁡2π122\cos^2\dfrac{\pi}{12} の値を求めよ。

答えを見る 2cos⁡2π12=1+cos⁡π6=1+32=2+322\cos^2\frac{\pi}{12} = 1 + \cos\frac{\pi}{6} = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}

問題3：cos⁡3θ−cos⁡θ\cos 3\theta - \cos\theta を積の形に変換せよ。

答えを見る cos⁡3θ−cos⁡θ=−2sin⁡3θ+θ2sin⁡3θ−θ2=−2sin⁡2θsin⁡θ\cos 3\theta - \cos\theta = -2\sin\frac{3\theta + \theta}{2}\sin\frac{3\theta - \theta}{2} = -2\sin 2\theta \sin\theta
#倍角公式#半角公式#積和公式#和積公式#三角関数#数学II