理系ハウス

積分法の基本【不定積分・定積分・基本定理】

公開日: 2026/7/11

📐 公式まとめ

  • 1. 不定積分とは

    ∫f(x) dx=F(x)+C\boxed{\int f(x)\,dx = F(x) + C}

  • 2. 不定積分の基本公式

    ∫xn dx=xn+1n+1+C(n≠−1)\boxed{\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)}

  • 3. 定積分とは

    ∫abf(x) dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\boxed{\int_a^b f(x)\,dx = \left[F(x)\right]_a^b = F(b) - F(a)}

  • 4. 微積分の基本定理

    ddx∫axf(t) dt=f(x)\boxed{\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)}

  • 5. 定積分の性質

    ∫abf(x) dx=−∫baf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx

  • 5. 定積分の性質

    ∫aaf(x) dx=0\int_a^a f(x)\,dx = 0

  • 5. 定積分の性質

    ∫abf(x) dx+∫bcf(x) dx=∫acf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx

  • 5. 定積分の性質

    ∫abkf(x) dx=k∫abf(x) dx\int_a^b kf(x)\,dx = k\int_a^b f(x)\,dx

  • 5. 定積分の性質

    ∫ab{f(x)+g(x)} dx=∫abf(x) dx+∫abg(x) dx\int_a^b \{f(x) + g(x)\}\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx

  • 5.1. 偶関数・奇関数の定積分（便利な公式）

    ∫−aaf(x) dx=2∫0af(x) dx\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx

  • 5.1. 偶関数・奇関数の定積分（便利な公式）

    ∫−aaf(x) dx=0\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0

積分法の基本【不定積分・定積分・基本定理】

積分は微分の「逆操作」であり、面積の計算にも使われます。不定積分と定積分の違いを正しく理解し、計算できるようにしましょう。

1. 不定積分とは

F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) を満たす F(x)F(x) を f(x)f(x) の原始関数（げんしかんすう）と言います。

原始関数は定数 CC（積分定数）を除いて一意に定まります。

∫f(x) dx=F(x)+C\boxed{\int f(x)\,dx = F(x) + C}

これを f(x)f(x) の不定積分（ふていせきぶん）と言います。

2. 不定積分の基本公式

f(x)f(x) ∫f(x) dx\int f(x)\,dx
xnx^n（n≠−1n \neq -1） xn+1n+1+C\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C
cc（定数） cx+Ccx + C
f(x)+g(x)f(x) + g(x) ∫f(x) dx+∫g(x) dx\int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx
cf(x)cf(x) c∫f(x) dxc \int f(x)\,dx

べき乗の積分（最重要）：

∫xn dx=xn+1n+1+C(n≠−1)\boxed{\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)}

2.1. 例題1：不定積分の計算

次の不定積分を求めよ。

(1) ∫(3x2−2x+5) dx\displaystyle\int (3x^2 - 2x + 5)\,dx

(2) ∫(x+1)3 dx\displaystyle\int (x + 1)^3\,dx

解答(1)

∫(3x2−2x+5) dx=x3−x2+5x+C\int (3x^2 - 2x + 5)\,dx = x^3 - x^2 + 5x + C

解答(2)

展開してから積分：

(x+1)3=x3+3x2+3x+1(x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 ∫(x+1)3 dx=x44+x3+3x22+x+C\int (x+1)^3\,dx = \frac{x^4}{4} + x^3 + \frac{3x^2}{2} + x + C

3. 定積分とは

f(x)f(x) の原始関数を F(x)F(x) とするとき：

∫abf(x) dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\boxed{\int_a^b f(x)\,dx = \left[F(x)\right]_a^b = F(b) - F(a)}

これを aa から bb までの f(x)f(x) の定積分（ていせきぶん）と言います。

  • aa：積分の下端
  • bb：積分の上端
  • 積分定数 CC は F(b)−F(a)F(b) - F(a) で消えるので不要

4. 微積分の基本定理

ddx∫axf(t) dt=f(x)\boxed{\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)}

つまり「積分してから微分すると元に戻る」ことを示しており、微分と積分が逆演算であることの核心です。

4.1. 例題2：定積分の計算

∫−12(x2−3x+1) dx\int_{-1}^{2} (x^2 - 3x + 1)\,dx

解答

F(x)=x33−3x22+xF(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + x F(2)=83−6+2=83−4=−43F(2) = \frac{8}{3} - 6 + 2 = \frac{8}{3} - 4 = -\frac{4}{3} F(−1)=−13−32−1=−13−52=−26−156=−176F(-1) = -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} - 1 = -\frac{1}{3} - \frac{5}{2} = -\frac{2}{6} - \frac{15}{6} = -\frac{17}{6} ∫−12(x2−3x+1) dx=−43−(−176)=−86+176=96=32\int_{-1}^{2}(x^2 - 3x + 1)\,dx = -\frac{4}{3} - \left(-\frac{17}{6}\right) = -\frac{8}{6} + \frac{17}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}

5. 定積分の性質

∫abf(x) dx=−∫baf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx ∫aaf(x) dx=0\int_a^a f(x)\,dx = 0 ∫abf(x) dx+∫bcf(x) dx=∫acf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx ∫abkf(x) dx=k∫abf(x) dx\int_a^b kf(x)\,dx = k\int_a^b f(x)\,dx ∫ab{f(x)+g(x)} dx=∫abf(x) dx+∫abg(x) dx\int_a^b \{f(x) + g(x)\}\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx

5.1. 偶関数・奇関数の定積分（便利な公式）

f(x)f(x) が偶関数（f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)）のとき：

∫−aaf(x) dx=2∫0af(x) dx\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx

f(x)f(x) が奇関数（f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)）のとき：

∫−aaf(x) dx=0\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0

5.2. 例題3：奇関数・偶関数の利用

∫−22(x3+3x2−x) dx\int_{-2}^{2} (x^3 + 3x^2 - x)\,dx

解答

  • x3x^3、−x-x は奇関数 → 積分は 00
  • 3x23x^2 は偶関数 → 積分は 2∫023x2 dx2\displaystyle\int_0^2 3x^2\,dx
=0+2[x3]02=2×8=16= 0 + 2\left[x^3\right]_0^2 = 2 \times 8 = 16

6. 例題4：定積分を含む等式（パラメータ決定）

∫1xf(t) dt=x2−3x+2\displaystyle\int_1^x f(t)\,dt = x^2 - 3x + 2 のとき f(x)f(x) を求めよ。

解答

両辺を xx で微分する（微積分の基本定理）：

f(x)=2x−3f(x) = 2x - 3

確認：x=1x = 1 のとき左辺 =0= 0、右辺 =1−3+2=0= 1 - 3 + 2 = 0 ✓

7. 積分と微分の対比

微分 積分
ddx[xn]=nxn−1\dfrac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1} ∫xn dx=xn+1n+1+C\displaystyle\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C
ddx[c]=0\dfrac{d}{dx}[c] = 0 ∫0 dx=C\displaystyle\int 0\,dx = C
(f+g)′=f′+g′(f + g)' = f' + g' ∫(f+g) dx=∫f dx+∫g dx\displaystyle\int (f+g)\,dx = \int f\,dx + \int g\,dx

8. まとめ

項目 内容
不定積分 ∫f(x) dx=F(x)+C\int f(x)\,dx = F(x) + C（CC は積分定数）
べき乗の積分 ∫xn dx=xn+1n+1+C\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C
定積分 ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)
基本定理 ddx∫axf(t) dt=f(x)\dfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)

9. 関連記事

10. クイズ

問題1：∫(4x3−6x+2) dx\displaystyle\int (4x^3 - 6x + 2)\,dx を求めよ。

答えを見る x4−3x2+2x+Cx^4 - 3x^2 + 2x + C

問題2：∫03(x2−2x+1) dx\displaystyle\int_0^3 (x^2 - 2x + 1)\,dx を計算せよ。

答えを見る F(x)=x33−x2+xF(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + x F(3)−F(0)=(9−9+3)−0=3F(3) - F(0) = (9 - 9 + 3) - 0 = 3

問題3：∫−33(x5−2x3+4x) dx\displaystyle\int_{-3}^{3} (x^5 - 2x^3 + 4x)\,dx を求めよ。

答えを見る

x5x^5、2x32x^3、4x4x はすべて奇関数なので積分は 0。

#積分#不定積分#定積分#微積分の基本定理#積分法#数学II