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複素数と二次方程式【虚数単位・解の公式・判別式】

公開日: 2026/7/11

📐 公式まとめ

  • 1. 虚数単位 iii

    i2=−1\boxed{i^2 = -1}

  • 2. 複素数の定義

    z=a+bi(a,b∈R)\boxed{z = a + bi \quad (a, b \in \mathbb{R})}

  • 3.1. 共役複素数

    z⋅zˉ=(a+bi)(a−bi)=a2+b2（実数）z \cdot \bar{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2 \quad \text{（実数）}

  • 4. 二次方程式と判別式

    x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

  • 5. 解と係数の関係（ビエタの公式）

    α+β=−ba,αβ=ca\boxed{\alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \quad \alpha\beta = \frac{c}{a}}

複素数と二次方程式【虚数単位・解の公式・判別式】

実数の範囲では解けなかった方程式が、複素数の世界では必ず解けます。複素数の計算と、二次方程式の解の分類をしっかりマスターしましょう。

1. 虚数単位 ii

x2=−1x^2 = -1 を満たす数は実数には存在しません。そこで、この方程式の解を虚数単位 ii として定義します。

i2=−1\boxed{i^2 = -1}

ii は "imaginary（想像上の）" の頭文字です。ii の累乗は周期 4 で繰り返します。

i1i^1 i2i^2 i3i^3 i4i^4 i5i^5 …\ldots
ii −1-1 −i-i 11 ii …\ldots

2. 複素数の定義

実数 a,ba, b を使って a+bia + bi と書かれる数を複素数（ふくそすう）と言います。

z=a+bi(a,b∈R)\boxed{z = a + bi \quad (a, b \in \mathbb{R})}
  • aa：実部（じつぶ、Real part）
  • bb：虚部（きょぶ、Imaginary part）
  • b=0b = 0 なら実数、b≠0b \neq 0 なら虚数
  • 特に a=0,b≠0a = 0, b \neq 0 なら純虚数（じゅんきょすう）

2.1. 複素数の相等

a+bi=c+dia + bi = c + di のとき a=ca = c かつ b=db = d（実部・虚部がそれぞれ等しい）。

3. 複素数の計算

z1=a+biz_1 = a + bi、z2=c+diz_2 = c + di のとき：

加法・減法 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i(a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)i

乗法 (a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac−bd)+(ad+bc)i(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i

除法（分母の有理化） a+bic+di=(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)=(ac+bd)+(bc−ad)ic2+d2\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}

3.1. 共役複素数

z=a+biz = a + bi に対して zˉ=a−bi\bar{z} = a - bi を共役複素数と言います。

z⋅zˉ=(a+bi)(a−bi)=a2+b2（実数）z \cdot \bar{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2 \quad \text{（実数）}

3.2. 例題1：複素数の計算

(2+3i)(1−2i)(2 + 3i)(1 - 2i) を計算せよ。

解答

(2+3i)(1−2i)=2−4i+3i−6i2=2−i−6(−1)=2−i+6=8−i\begin{align} (2 + 3i)(1 - 2i) &= 2 - 4i + 3i - 6i^2 \\ &= 2 - i - 6(-1) \\ &= 2 - i + 6 \\ &= 8 - i \end{align}

3.3. 例題2：除法

1+i2−i\dfrac{1 + i}{2 - i} を計算せよ。

解答

1+i2−i=(1+i)(2+i)(2−i)(2+i)=2+i+2i+i24+1=2+3i−15=1+3i5=15+35i\frac{1 + i}{2 - i} = \frac{(1 + i)(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} = \frac{2 + i + 2i + i^2}{4 + 1} = \frac{2 + 3i - 1}{5} = \frac{1 + 3i}{5} = \frac{1}{5} + \frac{3}{5}i

4. 二次方程式と判別式

二次方程式 ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0（a≠0a \neq 0）の解の公式：

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

判別式 D=b2−4acD = b^2 - 4ac の値によって解の種類が決まります。

DD の値 解の種類
D>0D > 0 異なる 2 つの実数解
D=0D = 0 重解（実数）
D<0D < 0 共役な 2 つの虚数解

4.1. 例題3：複素数の解

x2−2x+5=0x^2 - 2x + 5 = 0 を解け。

解答

x=2±4−202=2±−162=2±4i2=1±2ix = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i

解は x=1+2ix = 1 + 2i と x=1−2ix = 1 - 2i（共役複素数の対）。

5. 解と係数の関係（ビエタの公式）

ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 の 2 解を α,β\alpha, \beta とすると：

α+β=−ba,αβ=ca\boxed{\alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \quad \alpha\beta = \frac{c}{a}}

これをビエタの公式（解と係数の関係）と言います。

5.1. 例題4：解と係数の関係の応用

二次方程式 x2−5x+3=0x^2 - 5x + 3 = 0 の 2 解 α,β\alpha, \beta について、α2+β2\alpha^2 + \beta^2 の値を求めよ。

解答

ビエタの公式より α+β=5\alpha + \beta = 5、αβ=3\alpha\beta = 3。

α2+β2=(α+β)2−2αβ=25−6=19\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 25 - 6 = \mathbf{19}

5.2. 例題5：2 解が与えられた方程式を作る

2 解が 2+i2 + i と 2−i2 - i の二次方程式を作れ。

解答

(α+β)=(2+i)+(2−i)=4(\alpha + \beta) = (2 + i) + (2 - i) = 4 αβ=(2+i)(2−i)=4+1=5\alpha\beta = (2 + i)(2 - i) = 4 + 1 = 5

よって方程式は x2−4x+5=0x^2 - 4x + 5 = 0。

6. まとめ

ポイント 内容
i2=−1i^2 = -1 虚数単位の定義
複素数 a+bia + bi の形、実部・虚部
除法 共役複素数で分母を有理化
判別式 D=b2−4acD = b^2 - 4ac で解の種類を判別
ビエタの公式 α+β=−b/a\alpha + \beta = -b/a、αβ=c/a\alpha\beta = c/a

7. 関連記事

8. クイズ

問題1：3−i1+2i\dfrac{3 - i}{1 + 2i} を a+bia + bi の形に表せ。

答えを見る (3−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=3−6i−i+2i21+4=3−7i−25=1−7i5=15−75i\frac{(3 - i)(1 - 2i)}{(1 + 2i)(1 - 2i)} = \frac{3 - 6i - i + 2i^2}{1 + 4} = \frac{3 - 7i - 2}{5} = \frac{1 - 7i}{5} = \frac{1}{5} - \frac{7}{5}i

問題2：x2+4x+13=0x^2 + 4x + 13 = 0 を解け。

答えを見る x=−4±16−522=−4±−362=−4±6i2=−2±3ix = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 52}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{-4 \pm 6i}{2} = -2 \pm 3i

問題3：二次方程式 x2+px+q=0x^2 + px + q = 0 の 2 解の和が −3-3、積が 77 のとき p,qp, q を求めよ。

答えを見る

ビエタの公式：α+β=−p=−3⇒p=3\alpha + \beta = -p = -3 \Rightarrow p = 3、αβ=q=7\alpha\beta = q = 7。

答え：p=3,  q=7p = 3,\; q = 7

#複素数#虚数#二次方程式#判別式#高次方程式#数学II