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弧度法と一般角【ラジアン・三角関数のグラフ】

公開日: 2026/7/11

📐 公式まとめ

  • 1. 弧度法（ラジアン）とは

    180°=π rad\boxed{180° = \pi \text{ rad}}

  • 1.1. 度とラジアンの変換

    ラジアン=度×π180\text{ラジアン} = \text{度} \times \frac{\pi}{180}

  • 1.1. 度とラジアンの変換

    度=ラジアン×180π\text{度} = \text{ラジアン} \times \frac{180}{\pi}

  • 2. 弧の長さと扇形の面積

    弧の長さ  l=rθ\text{弧の長さ} \; l = r\theta

  • 2. 弧の長さと扇形の面積

    扇形の面積  S=12r2θ=12rl\text{扇形の面積} \; S = \frac{1}{2}r^2\theta = \frac{1}{2}rl

  • 3. 一般角

    α+360°×n(n は整数)またはα+2nπ\alpha + 360° \times n \quad (n \text{ は整数}) \quad \text{または} \quad \alpha + 2n\pi

  • 4. 三角関数の定義（単位円）

    cos⁡θ=x,sin⁡θ=y,tan⁡θ=yx  (x≠0)\cos\theta = x, \quad \sin\theta = y, \quad \tan\theta = \frac{y}{x} \; (x \neq 0)

  • 4.2. 相互関係

    sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

  • 4.2. 相互関係

    tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

  • 4.2. 相互関係

    1+tan⁡2θ=1cos⁡2θ1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}

弧度法と一般角【ラジアン・三角関数のグラフ】

高校数学IIでは、角度を「度」ではなく**弧度法（ラジアン）**で表すことが中心になります。グラフの周期や微積分の計算に欠かせない表記法です。

1. 弧度法（ラジアン）とは

弧度法は、角度を「半径 1 の円の弧の長さ」で表す方法です。

  • 半径 rr の円で、弧の長さが rr に等しいときの中心角 = 1 ラジアン（rad）
  • 半円（180°）の弧の長さ = 半径の π\pi 倍 → 180° = π\pi ラジアン
180°=π rad\boxed{180° = \pi \text{ rad}}

1.1. 度とラジアンの変換

ラジアン=度×π180\text{ラジアン} = \text{度} \times \frac{\pi}{180} 度=ラジアン×180π\text{度} = \text{ラジアン} \times \frac{180}{\pi}

1.2. 主な角度の対応表

度 ラジアン
0°0° 00
30°30° π6\dfrac{\pi}{6}
45°45° π4\dfrac{\pi}{4}
60°60° π3\dfrac{\pi}{3}
90°90° π2\dfrac{\pi}{2}
120°120° 2π3\dfrac{2\pi}{3}
180°180° π\pi
270°270° 3π2\dfrac{3\pi}{2}
360°360° 2π2\pi

2. 弧の長さと扇形の面積

半径 rr、中心角 θ\theta（ラジアン）の扇形に対して：

弧の長さ  l=rθ\text{弧の長さ} \; l = r\theta 扇形の面積  S=12r2θ=12rl\text{扇形の面積} \; S = \frac{1}{2}r^2\theta = \frac{1}{2}rl

2.1. 例題1：弧の長さと面積

半径 44、中心角 π3\dfrac{\pi}{3} の扇形の弧の長さと面積を求めよ。

解答

l=4×π3=4π3l = 4 \times \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} S=12×42×π3=8π3S = \frac{1}{2} \times 4^2 \times \frac{\pi}{3} = \frac{8\pi}{3}

3. 一般角

一般角とは、正の方向（反時計回り）に θ\theta だけ回転した角で、360°360°（2π2\pi）の整数倍を足した角もすべて同じ向きを表します。

α+360°×n(n は整数)またはα+2nπ\alpha + 360° \times n \quad (n \text{ は整数}) \quad \text{または} \quad \alpha + 2n\pi

例：30°30° と 390°390°（=30°+360°= 30° + 360°）と −330°-330°（=30°−360°= 30° - 360°）は同じ向き。

4. 三角関数の定義（単位円）

単位円（半径 1 の円）上の点 P\mathrm{P} の座標を (x,y)(x, y) とすると、角度 θ\theta に対して：

cos⁡θ=x,sin⁡θ=y,tan⁡θ=yx  (x≠0)\cos\theta = x, \quad \sin\theta = y, \quad \tan\theta = \frac{y}{x} \; (x \neq 0)

4.1. 三角関数の値の符号

象限 sin⁡θ\sin\theta cos⁡θ\cos\theta tan⁡θ\tan\theta
第 1 象限 ++ ++ ++
第 2 象限 ++ −- −-
第 3 象限 −- −- ++
第 4 象限 −- ++ −-

4.2. 相互関係

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} 1+tan⁡2θ=1cos⁡2θ1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}

5. 三角関数のグラフ

5.1. y=sin⁡θy = \sin\theta のグラフ

  • 周期：2π2\pi
  • 振幅：11
  • θ=π2\theta = \dfrac{\pi}{2} で最大値 11、θ=3π2\theta = \dfrac{3\pi}{2} で最小値 −1-1

5.2. y=cos⁡θy = \cos\theta のグラフ

  • 周期：2π2\pi
  • 振幅：11
  • θ=0\theta = 0 で最大値 11、θ=π\theta = \pi で最小値 −1-1

5.3. y=tan⁡θy = \tan\theta のグラフ

  • 周期：π\pi
  • θ=π2+nπ\theta = \dfrac{\pi}{2} + n\pi で定義されない（漸近線）

5.4. グラフの変換

y=Asin⁡(Bθ+C)+Dy = A\sin(B\theta + C) + D に対して：

パラメータ 意味
∣A∣\lvert A \rvert 振幅（最大値と最小値の差の半分）
2πB\dfrac{2\pi}{B}（B>0B > 0） 周期
−CB-\dfrac{C}{B} 位相のずれ（平行移動）
DD 上下方向のシフト

5.5. 例題2：グラフの周期と振幅

y=3sin⁡(2θ−π3)y = 3\sin\left(2\theta - \dfrac{\pi}{3}\right) の振幅・周期・位相のずれを求めよ。

解答

  • 振幅：∣3∣=3|3| = 3
  • 周期：2π2=π\dfrac{2\pi}{2} = \pi
  • 位相のずれ：−−π/32=π6-\dfrac{-\pi/3}{2} = \dfrac{\pi}{6}（右に π6\dfrac{\pi}{6} シフト）

5.6. 例題3：三角関数の値

tan⁡θ=−3\tan\theta = -\sqrt{3}、π2<θ<π\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi のとき、sin⁡θ\sin\theta と cos⁡θ\cos\theta を求めよ。

解答

第 2 象限なので sin⁡θ>0\sin\theta > 0、cos⁡θ<0\cos\theta < 0。

tan⁡θ=−3\tan\theta = -\sqrt{3} より sin⁡θ=3cos⁡θ⋅(−1)\sin\theta = \sqrt{3}\cos\theta \cdot (-1) と思うと迷うので、sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 と tan⁡θ=sin⁡θ/cos⁡θ\tan\theta = \sin\theta / \cos\theta を使う：

sin⁡θ=3cos⁡θ⋅sin⁡θcos⁡θ=−3cos⁡θ\sin\theta = \sqrt{3}\cos\theta \cdot \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = -\sqrt{3}\cos\theta

ここで sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1：

3cos⁡2θ+cos⁡2θ=1⇒cos⁡2θ=14⇒cos⁡θ=−123\cos^2\theta + \cos^2\theta = 1 \Rightarrow \cos^2\theta = \frac{1}{4} \Rightarrow \cos\theta = -\frac{1}{2}

（第 2 象限なので負）

sin⁡θ=−3⋅(−12)=32\sin\theta = -\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}

6. まとめ

項目 内容
180°=π180° = \pi rad 度とラジアンの変換基準
弧の長さ l=rθl = r\theta
扇形の面積 S=12r2θS = \dfrac{1}{2}r^2\theta
sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 三角関数の基本相互関係
周期 sin⁡,cos⁡\sin, \cos は 2π2\pi、tan⁡\tan は π\pi

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8. クイズ

問題1：135°135° を弧度法で表せ。

答えを見る 135°×π180=3π4 rad135° \times \frac{\pi}{180} = \frac{3\pi}{4} \text{ rad}

問題2：y=2cos⁡(θ2+π)y = 2\cos\left(\dfrac{\theta}{2} + \pi\right) の振幅と周期を求めよ。

答えを見る

振幅 = 2、周期 = 2π1/2=4π\dfrac{2\pi}{1/2} = 4\pi

問題3：sin⁡θ=12\sin\theta = \dfrac{1}{2}（0≤θ<2π0 \leq \theta < 2\pi）を満たす θ\theta をすべて求めよ。

答えを見る

θ=π6\theta = \dfrac{\pi}{6} と θ=π−π6=5π6\theta = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}

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