📐 積分法の公式まとめ

「積分法」で学ぶ公式をまとめました。各公式をタップすると解説記事にジャンプします。

積分法の基本【不定積分・定積分・基本定理】

1. 不定積分とは
$\boxed{\int f(x)\,dx = F(x) + C}$
2. 不定積分の基本公式
$\boxed{\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)}$
3. 定積分とは
$\boxed{\int_a^b f(x)\,dx = \left[F(x)\right]_a^b = F(b) - F(a)}$
4. 微積分の基本定理
$\boxed{\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)}$
5. 定積分の性質
$\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx$
5. 定積分の性質
$\int_a^a f(x)\,dx = 0$
5. 定積分の性質
$\int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx$
5. 定積分の性質
$\int_a^b kf(x)\,dx = k\int_a^b f(x)\,dx$
5. 定積分の性質
$\int_a^b \{f(x) + g(x)\}\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx$
5.1. 偶関数・奇関数の定積分（便利な公式）
$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx$
5.1. 偶関数・奇関数の定積分（便利な公式）
$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0$

1. 定積分と面積の関係
$S = \int_a^b f(x)\,dx$
1. 定積分と面積の関係
$\boxed{S = \int_a^b |f(x)|\,dx}$
2.3. 途中で符号が変わる場合
$S = \int_a^c f(x)\,dx - \int_c^b f(x)\,dx \quad \text{（符号が } + \to - \text{ の場合）}$
2.4. 例題1：xxx 軸との面積（符号変化あり）
$\boxed{S = \frac{32}{3}}$
3. 2 曲線間の面積
$\boxed{S = \int_a^b \{f(x) - g(x)\}\,dx}$
3.1. 例題2：2 曲線間の面積
$\boxed{S = \frac{9}{2}}$
4.1. 二次曲線と直線で囲まれた面積
$S = \frac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$
4.1. 二次曲線と直線で囲まれた面積
$S = \frac{1}{6}(2 - (-1))^3 = \frac{1}{6} \times 27 = \frac{9}{2} \quad \checkmark$
4.2. 三次曲線と直線で囲まれた面積
$S = \frac{|a|}{12}(\beta - \alpha)^4 \quad \text{（三次曲線が接する場合）}$
5. 例題3：面積計算（符号変化を含む）
$S = S_1 + S_2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \boxed{\frac{1}{2}}$
6. 例題4：2 放物線で囲まれた面積
$\boxed{S = 9}$