等式・不等式の証明【恒等式・絶対値・相加相乗平均】

「証明問題」は答えが決まっているのではなく、なぜそれが成り立つかを筋道立てて示すことが目的です。書き方のルールと典型的な技法をしっかり学びましょう。

1. 恒等式とは

恒等式（こうとうしき）とは、文字にどんな値を代入しても成り立つ等式です。

$$2(x + 3) = 2x + 6 \quad \text{（すべての } x \text{ で成立）}$$

これに対して、特定の値のときだけ成り立つ等式を方程式と言います。

1.1. 恒等式の係数比較

$$ax^2 + bx + c = 3x^2 - 5x + 2$$

がすべての $x$ で成り立つとき、両辺の同じ次数の係数を比較して：

$$a = 3, \quad b = -5, \quad c = 2$$

2. 等式の証明の書き方

等式 $A = B$ を証明する主な方法：

2.1. 方法1：左辺を変形して右辺に一致させる

$$\text{（左辺）} = \cdots = \text{（右辺）}$$

2.2. 方法2：両辺の差を計算して 0 を示す

$$A - B = \cdots = 0$$

2.3. 例題1：等式の証明

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ を証明せよ。

証明

右辺を展開します。

$$\begin{align} \text{（右辺）} &= (a + b)(a^2 - ab + b^2) \\ &= a^3 - a^2 b + ab^2 + a^2 b - ab^2 + b^3 \\ &= a^3 + b^3 \\ &= \text{（左辺）} \end{align}$$

よって等式は成り立つ。$\square$

3. 不等式の証明

不等式 $A \geq B$ を証明するには、$A - B \geq 0$ を示すのが基本方針です。

3.1. 証明でよく使う技法

4. 相加相乗平均の不等式

$a > 0,\; b > 0$ のとき：

$$\boxed{\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}}$$

等号は $a = b$ のときに成立。日本語では「算術平均 $\geq$ 幾何平均」とも言います。

4.1. 証明

$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0$ を展開すると：

$a - 2\sqrt{ab} + b \geq 0$ $a + b \geq 2\sqrt{ab}$ $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$

等号は $\sqrt{a} = \sqrt{b}$、すなわち $a = b$ のとき成立。$\square$

4.2. 例題2：相加相乗平均の応用

$x > 0$ のとき、$x + \dfrac{4}{x}$ の最小値を求めよ。

解答

$x > 0$ より相加相乗平均が使えます。

$$x + \frac{4}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 2\sqrt{4} = 4$$

等号は $x = \dfrac{4}{x}$、つまり $x^2 = 4$、$x = 2$ のとき成立。

$$\therefore \text{最小値は } \mathbf{4} \quad (x = 2 \text{ のとき})$$

5. 例題3：不等式の証明（基本）

$a, b$ が実数のとき、$a^2 + b^2 \geq 2ab$ を証明せよ。

証明

$$\begin{align} a^2 + b^2 - 2ab &= (a - b)^2 \geq 0 \end{align}$$

よって $a^2 + b^2 \geq 2ab$。等号は $a = b$ のとき成立。$\square$

6. 例題4：3 文字の不等式

$a, b, c$ が正の実数のとき、$a + b + c \geq \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}$ を証明せよ。

証明

相加相乗平均より：

$$a + b \geq 2\sqrt{ab}, \quad b + c \geq 2\sqrt{bc}, \quad c + a \geq 2\sqrt{ca}$$

3 つを辺々足すと：

$$2(a + b + c) \geq 2(\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca})$$ $$\therefore a + b + c \geq \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca} \quad \square$$

等号は $a = b = c$ のとき成立。

7. 絶対値を含む不等式

$|a + b| \leq |a| + |b|$（三角不等式）は重要な基本事実です。

7.1. 証明

$$|a + b|^2 = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ $$|a|^2 + 2|a||b| + |b|^2 - (a^2 + 2ab + b^2) = 2|ab| - 2ab = 2(|ab| - ab) \geq 0$$

よって $|a+b|^2 \leq (|a|+|b|)^2$、両辺は非負なので $|a+b| \leq |a|+|b|$。$\square$

8. 証明の書き方の注意

• 「～を証明せよ」の問題では、何を示すかを最初に宣言してから計算を進める。
• 等式の証明で「$= \text{右辺}$」で終わるか、「$\therefore$ 成立」を明記する。
• 不等式の証明では等号成立条件も必ず述べる。
• 逆方向からの変形（結論 → 既知の事実）は証明として認められない場合がある。

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• 多項式と除法

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10. クイズ

問題1：$x, y$ が実数のとき $x^2 + xy + y^2 > 0$（$x = y = 0$ 以外）を示せ。

答えを見る

$$x^2 + xy + y^2 = \left(x + \frac{y}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}y^2$$

$y \neq 0$ なら右辺 $> 0$。$y = 0$ なら $x^2 > 0$（$x \neq 0$ より）。よって常に正。$\square$

問題2：$a > 0$ のとき $a + \dfrac{1}{a} \geq 2$ を証明し、等号成立条件も述べよ。

答えを見る

相加相乗平均：$a + \dfrac{1}{a} \geq 2\sqrt{a \cdot \dfrac{1}{a}} = 2$。等号は $a = \dfrac{1}{a}$、すなわち $a = 1$ のとき。$\square$

問題3：$x^2 + y^2 + z^2 \geq xy + yz + zx$ を証明せよ。

答えを見る

$$2(x^2 + y^2 + z^2) - 2(xy + yz + zx) = (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \geq 0$$

よって $x^2 + y^2 + z^2 \geq xy + yz + zx$。等号は $x = y = z$ のとき。$\square$