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📐 三角関数の公式まとめ

「三角関数」で学ぶ公式をまとめました。各公式をタップすると解説記事にジャンプします。

弧度法と一般角【ラジアン・三角関数のグラフ】

  • 1. 弧度法（ラジアン）とは

    180°=π rad\boxed{180° = \pi \text{ rad}}

  • 1.1. 度とラジアンの変換

    ラジアン=度×π180\text{ラジアン} = \text{度} \times \frac{\pi}{180}

  • 1.1. 度とラジアンの変換

    度=ラジアン×180π\text{度} = \text{ラジアン} \times \frac{180}{\pi}

  • 2. 弧の長さと扇形の面積

    弧の長さ  l=rθ\text{弧の長さ} \; l = r\theta

  • 2. 弧の長さと扇形の面積

    扇形の面積  S=12r2θ=12rl\text{扇形の面積} \; S = \frac{1}{2}r^2\theta = \frac{1}{2}rl

  • 3. 一般角

    α+360°×n(n は整数)またはα+2nπ\alpha + 360° \times n \quad (n \text{ は整数}) \quad \text{または} \quad \alpha + 2n\pi

  • 4. 三角関数の定義（単位円）

    cos⁡θ=x,sin⁡θ=y,tan⁡θ=yx  (x≠0)\cos\theta = x, \quad \sin\theta = y, \quad \tan\theta = \frac{y}{x} \; (x \neq 0)

  • 4.2. 相互関係

    sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

  • 4.2. 相互関係

    tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

  • 4.2. 相互関係

    1+tan⁡2θ=1cos⁡2θ1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}

加法定理と倍角公式・半角公式の使い方を解説

  • 4. 半角の公式

    sin⁡2θ2=1−cos⁡θ2,cos⁡2θ2=1+cos⁡θ2\sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos\theta}{2}, \qquad \cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1+\cos\theta}{2}

倍角・半角・積和公式【三角関数の変換】

  • 1. 加法定理（復習）

    sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta

  • 1. 加法定理（復習）

    cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta

  • 1. 加法定理（復習）

    tan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}

  • 2. 倍角公式

    sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\boxed{\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha}

  • 2. 倍角公式

    cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=1−2sin⁡2α=2cos⁡2α−1\boxed{\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1}

  • 2. 倍角公式

    tan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α\boxed{\tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}}

  • 3. 半角公式

    cos⁡2α=1−2sin⁡2α⇒sin⁡2α=1−cos⁡2α2\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha \Rightarrow \sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}

  • 3. 半角公式

    sin⁡2θ2=1−cos⁡θ2\boxed{\sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{2}}

  • 3. 半角公式

    cos⁡2θ2=1+cos⁡θ2\boxed{\cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos\theta}{2}}

  • 3. 半角公式

    tan⁡2θ2=1−cos⁡θ1+cos⁡θ\boxed{\tan^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}}

  • 4. 三倍角公式（参考）

    sin⁡3α=3sin⁡α−4sin⁡3α\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha

  • 4. 三倍角公式（参考）

    cos⁡3α=4cos⁡3α−3cos⁡α\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha

  • 5. 積和公式

    cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)=2cos⁡αcos⁡β\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) = 2\cos\alpha\cos\beta

  • 5. 積和公式

    cos⁡αcos⁡β=12[cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)]\boxed{\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\left[\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)\right]}

  • 5. 積和公式

    sin⁡αsin⁡β=12[cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)]\boxed{\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}\left[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)\right]}

  • 5. 積和公式

    sin⁡αcos⁡β=12[sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)]\boxed{\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\left[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)\right]}

  • 6. 和積公式

    sin⁡A+sin⁡B=2sin⁡A+B2cos⁡A−B2\boxed{\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}}

  • 6. 和積公式

    sin⁡A−sin⁡B=2cos⁡A+B2sin⁡A−B2\boxed{\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}}

  • 6. 和積公式

    cos⁡A+cos⁡B=2cos⁡A+B2cos⁡A−B2\boxed{\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}}

  • 6. 和積公式

    cos⁡A−cos⁡B=−2sin⁡A+B2sin⁡A−B2\boxed{\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}}