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加法定理と倍角公式・半角公式の使い方を解説

公開日: 2026/7/11

📐 公式まとめ

  • 4. 半角の公式

    sin⁡2θ2=1−cos⁡θ2,cos⁡2θ2=1+cos⁡θ2\sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos\theta}{2}, \qquad \cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1+\cos\theta}{2}

1. 加法定理とは

加法定理は、2つの角の和や差の三角関数の値を、それぞれの角の三角関数の値から求める公式です。三角比の基本 で学んだ 30∘,45∘,60∘30^\circ, 45^\circ, 60^\circ の値と組み合わせることで、15∘15^\circ や 75∘75^\circ のような角の値も計算できるようになります。

2. 加法定理の公式一覧

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}

(α−β\alpha - \beta の場合は β\beta を −β-\beta に置き換えれば、sin⁡(−β)=−sin⁡β\sin(-\beta)=-\sin\beta、cos⁡(−β)=cos⁡β\cos(-\beta)=\cos\beta から同様に導けます。)

2.1. 例題1: 加法定理で sin⁡75∘\sin 75^\circ を求める

sin⁡75∘\sin 75^\circ の値を求めなさい。

75∘=45∘+30∘75^\circ = 45^\circ + 30^\circ と考えて加法定理を使います。

sin⁡75∘=sin⁡(45∘+30∘)=sin⁡45∘cos⁡30∘+cos⁡45∘sin⁡30∘\sin 75^\circ = \sin(45^\circ+30^\circ) = \sin45^\circ\cos30^\circ + \cos45^\circ\sin30^\circ =22×32+22×12=6+24= \frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

3. 倍角の公式

加法定理で β=α\beta = \alpha とおくと、次の倍角の公式が導けます。

sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta cos⁡2θ=cos⁡2θ−sin⁡2θ=2cos⁡2θ−1=1−2sin⁡2θ\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta tan⁡2θ=2tan⁡θ1−tan⁡2θ\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}

3.1. 例題2: 倍角公式を使う

θ\theta が鋭角で sin⁡θ=35\sin\theta = \dfrac{3}{5} のとき、sin⁡2θ\sin 2\theta と cos⁡2θ\cos 2\theta の値を求めなさい。

θ\theta は鋭角なので cos⁡θ>0\cos\theta > 0 です。sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 より、

cos⁡θ=1−(35)2=1625=45\cos\theta = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}

倍角公式に代入すると、

sin⁡2θ=2×35×45=2425\sin 2\theta = 2\times\frac{3}{5}\times\frac{4}{5} = \frac{24}{25} cos⁡2θ=1−2×(35)2=1−1825=725\cos 2\theta = 1 - 2\times\left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{18}{25} = \frac{7}{25}

4. 半角の公式

倍角公式の cos⁡2θ=1−2sin⁡2θ\cos 2\theta = 1-2\sin^2\theta などを変形すると、次の半角の公式が得られます。

sin⁡2θ2=1−cos⁡θ2,cos⁡2θ2=1+cos⁡θ2\sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos\theta}{2}, \qquad \cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1+\cos\theta}{2}

（本文中への画像挿入案: /images/math-2/kahou-teiri-kakudo.png、alt=「加法定理における角の合成を示した単位円の図」をこのセクションの下に配置すると、角度を足し合わせる考え方が視覚的に伝わりやすくなります。)

4.1. 例題3: 半角公式を使う

半角公式を使って cos⁡15∘\cos 15^\circ の値を求めなさい。

15∘15^\circ は 30∘30^\circ の半分と考えます。cos⁡30∘=32\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} なので、

cos⁡215∘=1+cos⁡30∘2=1+322=2+34\cos^2 15^\circ = \frac{1+\cos30^\circ}{2} = \frac{1+\frac{\sqrt3}{2}}{2} = \frac{2+\sqrt3}{4}

15∘15^\circ は第1象限の角で cos⁡15∘>0\cos15^\circ>0 なので、

cos⁡15∘=2+32\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{2+\sqrt3}}{2}

5. クイズ

  1. cos⁡θ=13\cos\theta = \dfrac{1}{3}(0∘<θ<90∘0^\circ<\theta<90^\circ)のとき、cos⁡2θ\cos 2\theta の値を求めなさい。

    • 答えを見る正解: −79-\dfrac{7}{9}。cos⁡2θ=2cos⁡2θ−1=2×19−1=29−1=−79\cos2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 2\times\dfrac19-1=\dfrac29-1=-\dfrac79。

  2. 加法定理を使って cos⁡75∘\cos 75^\circ の値を求めなさい。

    • 答えを見る正解: 6−24\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}。cos⁡75∘=cos⁡(45∘+30∘)=cos⁡45∘cos⁡30∘−sin⁡45∘sin⁡30∘=22×32−22×12=6−24\cos75^\circ=\cos(45^\circ+30^\circ)=\cos45^\circ\cos30^\circ-\sin45^\circ\sin30^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}\times\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{\sqrt2}{2}\times\dfrac12=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}。
#加法定理#倍角公式#半角公式#三角関数