多項式と除法【商と余り・組立除法】

多項式の除法は、整数の割り算と同じ考え方で行います。「割る式」「商」「余り」の関係を正しく理解し、計算の効率を上げる組立除法もマスターしましょう。

1. 多項式の除法とは

多項式 $A$ を多項式 $B$ で割ると、次の関係が成り立ちます。

$$A = B \cdot Q + R$$

ここで、$Q$ は商（しょう）、$R$ は余り（あまり）です。余り $R$ の次数は、割る式 $B$ の次数より必ず小さくなります。$R = 0$ のとき、$A$ は $B$ で割り切れると言います。

2. 多項式の割り算のやり方

整数の筆算と同じ手順で行います。次数の高い順に整理してから計算を始めましょう。

2.1. 手順

1. 割られる式と割る式を次数の高い順に整理する。
2. 割られる式の最高次の項 ÷ 割る式の最高次の項 を計算し、商の最初の項を求める。
3. 求めた項と割る式を掛け、割られる式から引く。
4. 余りが割る式より次数が低くなるまで繰り返す。

2.2. 例題1

$2x^3 - 3x^2 + 4x - 1$ を $x - 2$ で割ったときの商と余りを求めよ。

解答

$$\begin{array}{r} 2x^2 + x + 6 \\ x-2 \enclose{longdiv}{2x^3 - 3x^2 + 4x - 1} \\ \underline{2x^3 - 4x^2} \\ x^2 + 4x \\ \underline{x^2 - 2x} \\ 6x - 1 \\ \underline{6x - 12} \\ 11 \end{array}$$

• 商：$2x^2 + x + 6$
• 余り：$11$

確認：$(x-2)(2x^2 + x + 6) + 11 = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1$ ✓

3. 組立除法（くみたてじょほう）

$x - k$ の形の一次式で割るとき、組立除法を使うと計算がとても速くなります。

3.1. 組立除法の手順

$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$ を $x - k$ で割る場合：

1. 係数を横に並べる：$a_n, \; a_{n-1}, \; \ldots, \; a_1, \; a_0$
2. $k$ を左端に書く。
3. 最初の係数 $a_n$ をそのまま書き下ろす。
4. 書き下ろした数に $k$ を掛けて、次の係数に足す。これを繰り返す。
5. 最後の値が余り、それ以外が商の係数。

3.2. 例題2（組立除法）

$2x^3 - 3x^2 + 4x - 1$ を $x - 2$ で割る。（$k = 2$）

$$\begin{array}{c|cccc} 2 & 2 & -3 & 4 & -1 \\ & & 4 & 2 & 12 \\ \hline & 2 & 1 & 6 & 11 \end{array}$$

• 商：$2x^2 + x + 6$
• 余り：$11$

例題1と同じ結果が得られました。組立除法を使うと計算の手間が大幅に減ります。

4. 係数が 0 の項がある場合

多項式に欠けている次数の項がある場合は、係数を 0 として並べます。

4.1. 例題3

$x^4 - 1$ を $x - 1$ で割る。（$k = 1$）

$x^4 - 1 = x^4 + 0 \cdot x^3 + 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x - 1$ と考えます。

$$\begin{array}{c|ccccc} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ & & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}$$

• 商：$x^3 + x^2 + x + 1$
• 余り：$0$

よって $x^4 - 1 = (x-1)(x^3 + x^2 + x + 1)$ と因数分解できます。

5. 等式 $A = B \cdot Q + R$ の確認

計算が合っているかどうかは、常に $A = B \cdot Q + R$ に代入して確認できます。計算ミスが多い単元なので、検算の習慣をつけましょう。

5.1. まとめ

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7. クイズ

問題1：$3x^3 + 2x^2 - x + 5$ を $x + 1$ で割った余りを求めよ。

答えを見る

$x + 1 = x - (-1)$ なので $k = -1$ として組立除法を使います。

$$\begin{array}{c|cccc} -1 & 3 & 2 & -1 & 5 \\ & & -3 & 1 & 0 \\ \hline & 3 & -1 & 0 & 5 \end{array}$$

余り = 5、商 = $3x^2 - x$

問題2：$x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ を $x - 3$ で割った商を求めよ。

答えを見る

組立除法（$k = 3$）：

$$\begin{array}{c|cccc} 3 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 3 & -9 & 6 \\ \hline & 1 & -3 & 2 & 0 \end{array}$$

商 = $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$、余り = 0

問題3：多項式 $A$ を $2x - 1$ で割ったとき商が $x + 3$、余りが $2$ だった。$A$ を求めよ。

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$$A = (2x-1)(x+3) + 2 = 2x^2 + 6x - x - 3 + 2 = \mathbf{2x^2 + 5x - 1}$$