点と直線の方程式【内分・外分・距離の公式】

座標平面で図形を「式」で表し、方程式の計算で幾何の問題を解くのが「図形と方程式」の考え方です。まずは点と直線の基本公式をすべて押さえましょう。

1. 2 点間の距離

座標平面上の 2 点 $\mathrm{A}(x_1, y_1)$、$\mathrm{B}(x_2, y_2)$ の間の距離：

$$\boxed{|\mathrm{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}$$

ピタゴラスの定理から導かれます。

2. 内分点・外分点

2.1. 内分点

$\mathrm{A}(x_1, y_1)$ と $\mathrm{B}(x_2, y_2)$ を $m : n$ に内分する点 $\mathrm{P}$：

$$\boxed{\mathrm{P} = \left(\frac{mx_2 + nx_1}{m + n},\; \frac{my_2 + ny_1}{m + n}\right)}$$

中点（$m = n = 1$）は：

$$\mathrm{M} = \left(\frac{x_1 + x_2}{2},\; \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$

2.2. 外分点

$\mathrm{A}(x_1, y_1)$ と $\mathrm{B}(x_2, y_2)$ を $m : n$ に外分する点 $\mathrm{Q}$：

$$\boxed{\mathrm{Q} = \left(\frac{mx_2 - nx_1}{m - n},\; \frac{my_2 - ny_1}{m - n}\right)}$$

$m \neq n$ のとき有効。外分は内分公式の $n$ を $-n$ に変えたものと覚えると便利です。

2.3. 例題1：内分点・外分点

$\mathrm{A}(1, 2)$ と $\mathrm{B}(7, 5)$ を $2:1$ に内分する点と外分する点を求めよ。

解答（内分点）

$$\left(\frac{2 \cdot 7 + 1 \cdot 1}{3},\; \frac{2 \cdot 5 + 1 \cdot 2}{3}\right) = \left(\frac{15}{3},\; \frac{12}{3}\right) = (5, 4)$$

解答（外分点）

$$\left(\frac{2 \cdot 7 - 1 \cdot 1}{2 - 1},\; \frac{2 \cdot 5 - 1 \cdot 2}{2 - 1}\right) = (13, 8)$$

3. 直線の方程式

3.1. 形式の種類

3.2. 垂直と平行の条件

• 直線 $l_1$（傾き $m_1$）と $l_2$（傾き $m_2$）が平行 $\Leftrightarrow$ $m_1 = m_2$
• 垂直 $\Leftrightarrow$ $m_1 \cdot m_2 = -1$（ただし両方傾きが存在するとき）

3.3. 例題2：2 点を通る直線

$\mathrm{A}(1, 3)$ と $\mathrm{B}(4, -3)$ を通る直線の方程式を求めよ。

解答

傾き $m = \dfrac{-3 - 3}{4 - 1} = \dfrac{-6}{3} = -2$

1 点・傾き形：

$$y - 3 = -2(x - 1) \Rightarrow y = -2x + 5$$

4. 点と直線の距離

点 $\mathrm{P}(x_0, y_0)$ から直線 $ax + by + c = 0$ までの距離：

$$\boxed{d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}}$$

この公式は特に「円と直線の位置関係」でも頻繁に使います。

4.1. 例題3：点と直線の距離

点 $(3, 1)$ から直線 $3x - 4y + 5 = 0$ までの距離を求めよ。

解答

$$d = \frac{|3 \cdot 3 - 4 \cdot 1 + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|9 - 4 + 5|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|10|}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2$$

5. 三角形の面積（座標で求める）

3 点 $\mathrm{A}(x_1, y_1)$、$\mathrm{B}(x_2, y_2)$、$\mathrm{C}(x_3, y_3)$ を頂点とする三角形の面積：

$$S = \frac{1}{2}|{(x_1 - x_3)(y_2 - y_3) - (x_2 - x_3)(y_1 - y_3)}|$$

5.1. 例題4：三角形の面積

$\mathrm{A}(0, 0)$、$\mathrm{B}(4, 0)$、$\mathrm{C}(1, 3)$ を頂点とする三角形の面積を求めよ。

解答

底辺 $\mathrm{AB} = 4$（$x$ 軸上）、高さ = $\mathrm{C}$ の $y$ 座標 $= 3$。

$$S = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$$

別法（公式を使用）：

$$S = \frac{1}{2}|(0-1)(0-3) - (4-1)(0-3)| = \frac{1}{2}|3 + 9| = 6$$

6. まとめ

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7. 関連記事

• 円の方程式
• 軌跡と領域

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8. クイズ

問題1：$\mathrm{A}(2, -1)$ と $\mathrm{B}(8, 5)$ を $1:2$ に内分する点の座標を求めよ。

答えを見る

$$\left(\frac{1 \cdot 8 + 2 \cdot 2}{3},\; \frac{1 \cdot 5 + 2 \cdot (-1)}{3}\right) = \left(\frac{12}{3},\; \frac{3}{3}\right) = (4, 1)$$

問題2：点 $(2, 3)$ から直線 $y = 2x - 1$（$2x - y - 1 = 0$）までの距離を求めよ。

答えを見る

$$d = \frac{|2 \cdot 2 - 3 - 1|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{|0|}{\sqrt{5}} = 0$$

点 $(2, 3)$ は直線 $y = 2x - 1$ 上にあるので距離は 0。

実際に確認：$y = 2 \cdot 2 - 1 = 3$ ✓

問題3：$\mathrm{A}(0, 0)$ を通り、直線 $3x + y - 6 = 0$ に垂直な直線の方程式を求めよ。

答えを見る

直線 $3x + y - 6 = 0$ の傾きは $-3$。垂直な直線の傾きは $\dfrac{1}{3}$。

$\mathrm{A}(0, 0)$ を通るので $y = \dfrac{1}{3}x$