二項定理【二項展開・C(n,r)の使い方】

$(a + b)^n$ を展開するとき、すべて掛け算を繰り返すのは大変です。二項定理を使えば、$n$ が大きくても特定の項の係数をすぐに求められます。

1. 二項定理の公式

$$\boxed{(a + b)^n = \sum_{r=0}^{n} {}_n C_r \, a^{n-r} b^r}$$

展開すると：

$$(a+b)^n = {}_n C_0 \, a^n + {}_n C_1 \, a^{n-1}b + {}_n C_2 \, a^{n-2}b^2 + \cdots + {}_n C_n \, b^n$$

ここで、${}_n C_r = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}$ は二項係数（にこうけいすう）と呼ばれます。

1.1. 二項係数の性質

2. パスカルの三角形

二項係数はパスカルの三角形で視覚的に確認できます。

n=0:       1
n=1:      1  1
n=2:     1  2  1
n=3:    1  3  3  1
n=4:   1  4  6  4  1
n=5:  1  5 10 10  5  1

各数は左上と右上の数の和になっています（パスカルの関係）。

3. 例題1：展開の計算

$(x + 2)^5$ を展開せよ。

解答

$a = x,\; b = 2,\; n = 5$ として二項定理を適用します。

$$\begin{align} (x+2)^5 &= \sum_{r=0}^{5} {}_5 C_r \, x^{5-r} \cdot 2^r \\ &= {}_5C_0 x^5 + {}_5C_1 x^4 \cdot 2 + {}_5C_2 x^3 \cdot 4 + {}_5C_3 x^2 \cdot 8 + {}_5C_4 x \cdot 16 + {}_5C_5 \cdot 32 \\ &= x^5 + 10x^4 + 40x^3 + 80x^2 + 80x + 32 \end{align}$$

4. 例題2：特定の項の係数を求める

$(2x - 3)^6$ の展開式における $x^4$ の係数を求めよ。

解答

$a = 2x,\; b = -3,\; n = 6$ として、一般項は：

$${}_6 C_r \, (2x)^{6-r} \cdot (-3)^r = {}_6 C_r \cdot 2^{6-r} \cdot (-3)^r \cdot x^{6-r}$$

$x^4$ の項は $6 - r = 4$、つまり $r = 2$ のとき：

$${}_6 C_2 \cdot 2^4 \cdot (-3)^2 = 15 \times 16 \times 9 = 2160$$

よって $x^4$ の係数は $\mathbf{2160}$。

4.1. 一般項の公式（重要）

$(a + b)^n$ の展開式において $b^r$ を含む項（第 $r+1$ 項）は：

$$\boxed{{}_n C_r \, a^{n-r} b^r}$$

この式で $r$ の値を特定するのが、特定の項の係数を求める問題の解法です。

5. 例題3：定数項を求める

$\left(x - \dfrac{1}{x}\right)^8$ の展開式の定数項を求めよ。

解答

一般項は：

$${}_8 C_r \, x^{8-r} \cdot \left(-\frac{1}{x}\right)^r = {}_8 C_r \cdot (-1)^r \cdot x^{8-r} \cdot x^{-r} = {}_8 C_r \cdot (-1)^r \cdot x^{8-2r}$$

定数項は $x^0$ なので $8 - 2r = 0$、つまり $r = 4$：

$${}_8 C_4 \cdot (-1)^4 = 70 \times 1 = \mathbf{70}$$

6. 二項定理の証明の考え方

$(a+b)^n = \underbrace{(a+b)(a+b)\cdots(a+b)}_{n \text{ 個}}$ を展開するとき、$n$ 個の因数それぞれから $a$ か $b$ を選ぶ。$r$ 個の因数から $b$ を選ぶ選び方が ${}_n C_r$ 通りあるので、$a^{n-r}b^r$ の係数は ${}_n C_r$ となります。

7. まとめ

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8. 関連記事

• 多項式と除法
• 等式・不等式の証明

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9. クイズ

問題1：$(a + b)^4$ を展開したときの $a^2 b^2$ の係数はいくつか？

答えを見る

$${}_4 C_2 = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = 6$$

係数は 6。

問題2：$\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^6$ の展開式の定数項を求めよ。

答えを見る

一般項：${}_6 C_r \, x^{6-r} \cdot x^{-r} = {}_6 C_r \, x^{6-2r}$

定数項は $6 - 2r = 0 \Rightarrow r = 3$：

$${}_6 C_3 = 20$$

定数項は 20。

問題3：$(1 + x)^{10}$ の展開式における $x^3$ の係数を求めよ。

答えを見る

$${}_{ 10} C_3 = \dfrac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$$

係数は 120。