指数関数・対数関数のグラフと性質をやさしく解説

1. 指数関数とは

指数関数とは、 $a>0$ 、 $a\neq1$ の定数 $a$ を使って、次の形で表される関数です。

y = a^x

$a$ を底といいます。指数法則 $a^m \times a^n = a^{m+n}$ などを使えば、指数が整数でなくても値を計算できます。

2. 指数関数のグラフと性質

$a > 1$ のとき: $x$ が増えると $y$ も増える(右上がりの増加関数)
$0 < a < 1$ のとき: $x$ が増えると $y$ は減る(右下がりの減少関数)
グラフは常に点 $(0, 1)$ を通り、 $y > 0$ の範囲にある( $x$ 軸とは交わらない)

2.1. 例題1: 指数関数の値を求める

$y = 2^x$ について、 $x=3$ のときと $x=-2$ のときの $y$ の値を求めなさい。

x=3 \text{ のとき } y = 2^3 = 8, \qquad x=-2 \text{ のとき } y = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}

3. 対数とは

$a>0$ 、 $a\neq1$ 、 $M>0$ のとき、 $a^p = M$ となる指数 $p$ を、 $a$ を底とする $M$ の対数といい、次のように表します。

p = \log_a M \quad \Longleftrightarrow \quad a^p = M

対数は「指数を求める計算」だと考えるとイメージしやすくなります。

4. 対数の性質(公式一覧)

$\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N$ $\log_a\frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$ $\log_a M^k = k\log_a M$ $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \quad (\text{底の変換公式})$

4.1. 例題2: 対数の計算

$\log_2 8 + \log_2 4$ の値を求めなさい。

積の公式を使ってまとめると、

\log_2 8 + \log_2 4 = \log_2(8\times4) = \log_2 32 = 5

( $2^5=32$ なので $\log_2 32=5$ 。別々に計算しても $\log_2 8=3$ 、 $\log_2 4=2$ で合計 $5$ となり一致します。)

5. 対数関数のグラフと性質

$y=\log_a x$ のグラフは、 $y=a^x$ のグラフを直線 $y=x$ について対称移動した形になります(指数関数の逆関数にあたるため)。

定義域は $x>0$ 、値域はすべての実数
グラフは常に点 $(1, 0)$ を通る
$a>1$ のとき増加関数、 $0<a<1$ のとき減少関数

（本文中への画像挿入案: /images/math-2/shisuu-taisuu-kansuu-graf.png、alt=「指数関数と対数関数のグラフの関係(直線y=xに関して対称)を示した図」をこのセクションの下に配置すると、2つのグラフの対称性が視覚的に伝わりやすくなります。二次関数のグラフの考え方と同じく、グラフの形をイメージしながら性質を覚えると理解が定着しやすくなります。)

5.1. 例題3: 対数方程式を解く

方程式 $\log_2 x + \log_2(x-2) = 3$ を解きなさい(ただし $x>2$ )。

積の公式でまとめると、

$\log_2\{x(x-2)\} = 3 \quad \Longrightarrow \quad x(x-2) = 2^3 = 8$ $x^2 - 2x - 8 = 0 \quad \Longrightarrow \quad (x-4)(x+2) = 0$

$x=4$ または $x=-2$ ですが、定義域 $x>2$ を満たすのは $x=4$ のみです。

6. クイズ

$\log_3 81$ の値を求めなさい。
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  正解: $4$ 。 $81=3^4$ なので $\log_3 81=4$ 。
方程式 $2^{x+1} = 32$ を解きなさい。
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  正解: $x=4$ 。 $32=2^5$ なので $x+1=5$ 、よって $x=4$ 。

指数関数・対数関数のグラフと性質をわかりやすく解説