因数分解の公式とやり方【たすき掛け・公式一覧】

1. 因数分解とは

因数分解とは、多項式をいくつかの式の積の形に書き直すことです。展開が「かっこを外して式を広げる」計算だとすれば、因数分解はその逆で「式をかっこでまとめる」計算だといえます。

$$x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$$

因数分解ができると、二次方程式を解いたり、分数式を約分したり、グラフの $x$ 軸との交点を求めたりと、いろいろな場面で計算が一気に楽になります。まずは基本の公式から確認していきましょう。

2. 因数分解の基本公式一覧

2.1. 共通因数でくくる

すべての項に共通する文字や数字があれば、まずそれをかっこの外にくくり出します。

$$3x^2 + 6x = 3x(x + 2)$$

2.2. 公式1: 平方の形

$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$

2.3. 公式2: 平方の差

$$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$$

2.4. 公式3: $x^2$ の係数が1の二次式

$$x^2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)$$

かけて定数項、足して $x$ の係数になる2つの数を探すのがポイントです。

2.5. 公式4: $x^2$ の係数が1でない二次式

$$acx^2 + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d)$$

この形の因数分解で使うテクニックが、次に説明する「たすき掛け」です。

3. たすき掛けを使った因数分解のやり方

たすき掛けは、$x^2$ の係数が1でない二次式 $acx^2+(ad+bc)x+bd$ を素早く因数分解するための表です。次の手順で進めます。

1. $x^2$ の係数 $ac$ を2つの数 $a, c$ の積に分ける
2. 定数項 $bd$ を2つの数 $b, d$ の積に分ける
3. ななめにかけた $ad$ と $bc$ を足して、真ん中の項の係数と一致する組み合わせを探す
4. 一致したら $(ax + b)(cx + d)$ の形に組み立てる

（本文中への画像挿入案: /images/math-1/insuubunkai-koushiki-tasukigake.png、alt=「たすき掛けを使った因数分解の手順を示した図」をこのセクションの下に配置すると、数字を当てはめる様子が視覚的に伝わりやすくなります。）

3.1. 例題1: $x^2$ の係数が1の場合

次の式を因数分解しなさい。

$$x^2 - 5x + 6$$

かけて $6$、足して $-5$ になる2つの数を探すと、$-2$ と $-3$ が見つかります。よって、

$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$$

3.2. 例題2: たすき掛けを使う場合

次の式を因数分解しなさい。

$$6x^2 + 7x - 3$$

$x^2$ の係数 $6$ を $2 \times 3$、定数項 $-3$ を $3 \times (-1)$ に分けて、たすき掛けを試します。

$$2 \times (-1) + 3 \times 3 = -2 + 9 = 7$$

真ん中の項の係数 $7$ と一致するので、

$$6x^2 + 7x - 3 = (2x + 3)(3x - 1)$$

展開して確かめると、$(2x+3)(3x-1) = 6x^2 - 2x + 9x - 3 = 6x^2 + 7x - 3$ となり、一致します。

3.3. 例題3: 平方の差の公式

次の式を因数分解しなさい。

$$9x^2 - 25$$

$9x^2 = (3x)^2$、$25 = 5^2$ なので、平方の差の公式を使うと、

$$9x^2 - 25 = (3x + 5)(3x - 5)$$

4. 因数分解でよくあるミス

• 共通因数をくくり出し忘れて、そのままたすき掛けを試してしまう(先に共通因数を確認する習慣をつけましょう)
• たすき掛けで符号のミスをする(足す・引くを丁寧に確認する)
• 因数分解した後、展開して元の式に戻るか検算しない(検算は必ず行いましょう)

因数分解した式は展開すれば必ず元の式に戻るので、答えに自信が持てないときは検算する癖をつけると計算ミスを大きく減らせます。

因数分解は 二次方程式の解き方 や 二次関数のグラフと平方完成 でも土台になる計算なので、この記事の公式一覧はしっかり覚えておきましょう。

5. クイズ

1. 次の式を因数分解しなさい:$x^2 - 3x - 10$

   • 答えを見る

     正解: $(x-5)(x+2)$。かけて $-10$、足して $-3$ になる数は $-5$ と $2$ です。

2. 次の式をたすき掛けで因数分解しなさい:$2x^2 + 5x + 2$

   • 答えを見る

     正解: $(2x+1)(x+2)$。$x^2$ の係数 $2$ を $2 \times 1$、定数項 $2$ を $1 \times 2$ に分けると、$2\times2 + 1\times1 = 5$ となり一致します。