代表値と散らばり【平均値・中央値・最頻値・分散・標準偏差】

1. 代表値とは

データ全体の特徴を1つの数値で表したものを代表値といいます。主な代表値は次の3つです。

2. 平均値

すべてのデータの値を足してデータの個数で割った値です。

$$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$$

平均値はすべてのデータを使うため外れ値の影響を受けやすいという特徴があります。

3. 中央値（メジアン）

データを昇順に並べたときの中央の値です。

• データ数が奇数のとき：中央の $1$ つの値
• データ数が偶数のとき：中央 $2$ つの値の平均

平均値と違い、外れ値があっても大きく変化しないため頑健な代表値として使われます。

4. 最頻値（モード）

データの中で最も多く出現する値です。度数分布表では度数が最大の階級の階級値が最頻値になります。

4.1. 例題1：3つの代表値を求める

次の $7$ つのデータについて、平均値・中央値・最頻値を求めなさい。

$$4,\ 7,\ 3,\ 8,\ 7,\ 5,\ 7$$

昇順に並べると：$3,\ 4,\ 5,\ 7,\ 7,\ 7,\ 8$

平均値： $\bar{x} = \frac{3+4+5+7+7+7+8}{7} = \frac{41}{7} \approx 5.86$

中央値：データ数 $7$（奇数）なので $4$ 番目の値 $= 7$

最頻値：$7$（3回登場、最多）

5. 分散と標準偏差

代表値だけではデータの散らばり（ばらつき）はわかりません。散らばりを数値で表すのが分散と標準偏差です。

5.1. 偏差

各データ値と平均値の差を偏差といいます。

$$\text{偏差}_i = x_i - \bar{x}$$

偏差の合計は必ず $0$ になります（平均の定義より）。

5.2. 分散

偏差の2乗の平均値を分散といい、$s^2$（または $V$）で表します。

$$s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$$

分散が大きいほど、データが平均から遠く散らばっています。

5.3. 標準偏差

分散の正の平方根を標準偏差といい、$s$ で表します。

$$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}$$

標準偏差はデータと同じ単位（点、cm など）を持つため直感的に解釈しやすいです。

5.4. 例題2：分散と標準偏差の計算

データ：$2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10$

Step 1：平均値を求める

$$\bar{x} = \frac{2+4+6+8+10}{5} = \frac{30}{5} = 6$$

Step 2：偏差と偏差の2乗を求める

Step 3：分散と標準偏差

$$s^2 = \frac{40}{5} = 8, \quad s = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.83$$

5.5. 分散の便利な計算公式

$$s^2 = \overline{x^2} - \bar{x}^2$$

（「2乗の平均」から「平均の2乗」を引く）

上の例で確認すると、$\overline{x^2} = \dfrac{4+16+36+64+100}{5} = \dfrac{220}{5} = 44$、$\bar{x}^2 = 36$、$s^2 = 44 - 36 = 8$。

6. 代表値と散らばりの使い方

7. クイズ

1. データ $1, 3, 5, 7, 9$ の分散を求めなさい。

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     正解：$8$。平均 $= 5$。偏差の2乗：$16, 4, 0, 4, 16$。分散 $= \dfrac{40}{5} = 8$。

2. データに外れ値（極端に大きい値）が含まれる場合、平均値と中央値のどちらが代表値として適切ですか？

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     正解：中央値。平均値は外れ値の影響を大きく受けますが、中央値は影響を受けにくいです。

3. 標準偏差が $0$ のとき、データはどのような状態ですか？

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     正解：すべてのデータが同じ値（ばらつきが全くない状態）。$s=0$ のとき全偏差が $0$、つまり $x_i = \bar{x}$ がすべての $i$ で成立します。