集合の基本【部分集合・共通部分・和集合・補集合】

1. 集合とは

明確な基準によって区別できるものの集まりを集合といい、集合を構成するひとつひとつのものを要素（または元）といいます。

$a$ が集合 $A$ の要素であるとき「$a \in A$」（$a$ は $A$ に属する）、そうでないとき「$a \notin A$」と書きます。

集合の表し方は2通りあります。

• 外延的定義（列挙法）：$A = \{1, 2, 3, 4\}$
• 内包的定義（条件法）：$A = \{x \mid x \text{ は } 10 \text{ 以下の正の奇数}\}$

要素が1つもない集合を空集合といい、$\emptyset$ で表します。

2. 部分集合

集合 $A$ のすべての要素が集合 $B$ にも含まれているとき、$A$ は $B$ の部分集合であるといい、

$$A \subseteq B$$

と書きます。このとき「$A$ は $B$ に含まれる」ともいいます。

重要な性質：

• $A = B$ のとき、$A \subseteq B$ かつ $B \subseteq A$。
• 空集合は任意の集合の部分集合：$\emptyset \subseteq A$。
• 任意の集合はそれ自身の部分集合：$A \subseteq A$。

2.1. 例題1：部分集合の確認

$A = \{1, 3, 5\}$、$B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ のとき、$A \subseteq B$ かどうか確かめましょう。

$A$ の要素は $1, 3, 5$ で、これらはすべて $B$ に含まれています。よって $A \subseteq B$ です。

3. 共通部分（積集合）

2つの集合 $A$ と $B$ の両方に属する要素全体の集合を共通部分（積集合）といい、

$$A \cap B$$

と表します（$A$ インターセクト $B$ と読む）。

$$A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ かつ } x \in B\}$$

3.1. 例題2：共通部分

$A = \{1, 2, 3, 4, 6\}$、$B = \{2, 4, 6, 8\}$ のとき、

$$A \cap B = \{2, 4, 6\}$$

4. 和集合（合併）

2つの集合 $A$ と $B$ の少なくとも一方に属する要素全体の集合を和集合（合併）といい、

$$A \cup B$$

と表します（$A$ ユニオン $B$ と読む）。

$$A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ または } x \in B\}$$

4.1. 例題3：和集合

$A = \{1, 2, 3\}$、$B = \{3, 4, 5\}$ のとき、

$$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$$

$3$ は両方に属しますが、集合では重複して書きません。

5. 補集合

全体集合 $U$ の中で、集合 $A$ に属さない要素全体の集合を $A$ の補集合といい、

$$\overline{A}$$

と表します。

$$\overline{A} = \{x \in U \mid x \notin A\}$$

5.1. 例題4：補集合

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$、$A = \{1, 3, 5\}$ のとき、

$$\overline{A} = \{2, 4, 6\}$$

6. ド・モルガンの法則

集合の補集合に関する重要な法則です。

$$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$$ $$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$$

ベン図で確認すると直感的に理解できます。「$A$ かつ $B$ でない」は「$A$ でないまたは $B$ でない」と同じ意味です。

7. 集合の要素の個数

$n(A)$ で集合 $A$ の要素の個数を表します。和集合の個数について次の公式が成り立ちます。

$$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$$

共通部分 $A \cap B$ を2回数えてしまうので、1回分を引きます。

7.1. 例題5：個数の公式

あるクラスで数学が好きな生徒が $20$ 人、英語が好きな生徒が $15$ 人、両方好きな生徒が $8$ 人いる。少なくとも一方が好きな生徒は何人か。

$$n(\text{数} \cup \text{英}) = 20 + 15 - 8 = 27 \text{ 人}$$

8. クイズ

1. $A = \{2, 4, 6, 8\}$、$B = \{1, 2, 3, 4\}$ のとき、$A \cap B$ を求めなさい。

   • 答えを見る

     正解：$\{2, 4\}$。両方に含まれる要素は $2$ と $4$。

2. 全体集合 $U = \{1,2,3,4,5,6,7,8\}$、$A = \{2,4,6,8\}$ のとき、$\overline{A}$ を求めなさい。

   • 答えを見る

     正解：$\{1,3,5,7\}$。$U$ の要素のうち $A$ に属さないものを選ぶ。

3. $n(A) = 18$、$n(B) = 12$、$n(A \cup B) = 25$ のとき、$n(A \cap B)$ を求めなさい。

   • 答えを見る

     正解：$5$。$n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B) = 18 + 12 - 25 = 5$。