二次関数の最大値・最小値【定義域・場合分け】数学I

1. 定義域と値域

関数 $y = f(x)$ について、

といいます。定義域が制限されると、最大値・最小値が変わります。

$y = a(x-p)^2 + q$ において：

頂点が最大・最小を決めます。

定義域が $\alpha \leq x \leq \beta$ のように制限されている場合、グラフの頂点が定義域に含まれるかどうかで場合分けします。

頂点 $x = p$ が $\alpha \leq p \leq \beta$ を満たすとき：

頂点が定義域外のとき、グラフは定義域内で単調増加または単調減少です。最大・最小は定義域の両端で決まります。

$y = (x-2)^2 - 1$ 、定義域 $0 \leq x \leq 4$

頂点 $(2, -1)$ 、 $a = 1 > 0$ より下に凸。

軸 $x = 2$ は $[0, 4]$ の中に含まれます。

最小値： $x = 2$ のとき $y = -1$
定義域の両端の $y$ $y$ 値：
- $x = 0$ ： $y = (0-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$
- $x = 4$ ： $y = (4-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$

頂点から等距離なので両端は等しい。最大値： $x = 0$ または $x = 4$ のとき $y = 3$

$y = (x-1)^2 + 2$ 、定義域 $3 \leq x \leq 6$

頂点の $x = 1$ は定義域 $[3, 6]$ より左にあります。定義域内でグラフは単調増加（ $x$ が大きいほど $y$ が大きい）。

$y = x^2 - 2x + 3$ （平方完成すると $y = (x-1)^2 + 2$ ）、定義域 $0 \leq x \leq a$ （ $a > 0$ ）の最大値を求めなさい。

頂点は $x = 1$ 。 $a$ の大きさによって場合分けします。

場合1： $0 < a \leq 1$ （頂点が定義域に含まれない）

定義域内でグラフは単調減少（軸の左側）。最大値は $x = 0$ で達成。

y_{\max} = 0^2 - 2 \cdot 0 + 3 = 3

場合2： $a > 1$ （頂点が定義域に含まれる）

$x = 0$ での値： $y = 3$ 、 $x = a$ での値： $y = (a-1)^2 + 2$ 。

まとめると：

y_{\max} = \begin{cases} 3 & (0 < a \leq 2) \\ (a-1)^2 + 2 & (a > 2) \end{cases}

最大・最小を求めるときは、必ず放物線のグラフと定義域の関係をスケッチして確認しましょう。場合分けのミスが大幅に減ります。

$y = -x^2 + 4x - 1$ （全実数が定義域）の最大値を求めなさい。
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  正解：最大値 $3$ （ $x = 2$ のとき）。平方完成すると $y = -(x-2)^2 + 3$ 。上に凸なので頂点が最大値。
$y = (x+1)^2 - 3$ 、定義域 $-3 \leq x \leq 1$ の最小値と最大値を求めなさい。
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  正解：最小値 $-3$ （ $x = -1$ ）、最大値 $1$ （ $x = -3$ または $x = 1$ ）。頂点 $x = -1$ は定義域内。両端： $(-3)^2-2(-3)+1$ ではなく $((-3)+1)^2-3=4-3=1$ 、 $((1)+1)^2-3=4-3=1$ 。
$y = x^2 - 6x + 10$ 、定義域 $4 \leq x \leq 7$ の最小値を求めなさい。
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  正解：最小値 $2$ （ $x = 4$ のとき）。平方完成すると $y=(x-3)^2+1$ 、頂点 $x=3$ は定義域外（左側）。定義域内は単調増加なので最小値は左端 $x=4$ ： $y=16-24+10=2$ 。