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三角比の基本【sin・cos・tan の定義と相互関係】

公開日: 2026/7/11

📐 公式まとめ

  • 1. 三角比とは

    sin⁡θ=対辺斜辺,cos⁡θ=隣辺斜辺,tan⁡θ=対辺隣辺\sin\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}}, \quad \cos\theta = \frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}}, \quad \tan\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}}

  • 3. 三角比の相互関係

    sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

  • 3. 三角比の相互関係

    tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

  • 3. 三角比の相互関係

    1+tan⁡2θ=1cos⁡2θ1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}

1. 三角比とは

直角三角形において、ある角の大きさに対して辺の長さの比は一定です。この比を三角比といいます。

角 θ\theta（シータ）を含む直角三角形で、

  • 斜辺：直角に対する辺（最も長い辺）
  • 対辺（高さ）：角 θ\theta の向かいの辺
  • 隣辺（底辺）：角 θ\theta の隣の辺（斜辺を除く）

とすると、三角比は次のように定義されます。

sin⁡θ=対辺斜辺,cos⁡θ=隣辺斜辺,tan⁡θ=対辺隣辺\sin\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}}, \quad \cos\theta = \frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}}, \quad \tan\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}}

直角三角形における sin・cos・tan の定義。斜辺c、対辺a、底辺bと角θを図示し、各比の定義式をまとめた図

覚え方：「サイン対斜辺、コサイン隣斜辺、タンジェント対隣」

また、tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} も重要な関係です。

2. 代表的な角度の三角比

θ\theta sin⁡θ\sin\theta cos⁡θ\cos\theta tan⁡θ\tan\theta
30°30° 12\dfrac{1}{2} 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 13=33\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}
45°45° 22\dfrac{\sqrt{2}}{2} 22\dfrac{\sqrt{2}}{2} 11
60°60° 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 12\dfrac{1}{2} 3\sqrt{3}

これらは直角三角形の辺の比（1:1:21:1:\sqrt{2} と 1:3:21:\sqrt{3}:2）から導かれます。

2.1. 例題1：三角比の値を求める

斜辺が 55、対辺が 33、隣辺が 44 の直角三角形において、角 θ\theta（対辺の向かい角）について sin⁡θ\sin\theta、cos⁡θ\cos\theta、tan⁡θ\tan\theta を求めなさい。

sin⁡θ=35,cos⁡θ=45,tan⁡θ=34\sin\theta = \frac{3}{5}, \quad \cos\theta = \frac{4}{5}, \quad \tan\theta = \frac{3}{4}

2.2. 例題2：三角比から辺の長さを求める

sin⁡30°=12\sin 30° = \dfrac{1}{2} を使う。斜辺が 1010 の直角三角形で θ=30°\theta = 30° のとき対辺を求めなさい。

対辺=斜辺×sin⁡30°=10×12=5\text{対辺} = \text{斜辺} \times \sin 30° = 10 \times \frac{1}{2} = 5

3. 三角比の相互関係

三角比の間には次の3つの重要な関係があります。

関係1：

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

これはピタゴラスの定理から導かれる最も重要な恒等式です。

関係2：

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

関係3：

1+tan⁡2θ=1cos⁡2θ1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}

（関係1の両辺を cos⁡2θ\cos^2\theta で割ることで導かれます）

3.1. 例題3：相互関係を使った計算

sin⁡θ=35\sin\theta = \dfrac{3}{5}（0°<θ<90°0° < \theta < 90°）のとき、cos⁡θ\cos\theta と tan⁡θ\tan\theta を求めなさい。

cos⁡θ\cos\theta を求める：

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1  ⟹  (35)2+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \implies \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2\theta = 1 cos⁡2θ=1−925=1625\cos^2\theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}

0°<θ<90°0° < \theta < 90° なので cos⁡θ>0\cos\theta > 0、よって cos⁡θ=45\cos\theta = \dfrac{4}{5}。

tan⁡θ\tan\theta を求める：

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=3/54/5=34\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}

3.2. 例題4：tan⁡θ\tan\theta から他を求める

tan⁡θ=2\tan\theta = 2（0°<θ<90°0° < \theta < 90°）のとき、sin⁡θ\sin\theta、cos⁡θ\cos\theta を求めなさい。

1+tan⁡2θ=1cos⁡2θ1 + \tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta} を使います。

1+4=1cos⁡2θ  ⟹  cos⁡2θ=15  ⟹  cos⁡θ=15=551 + 4 = \frac{1}{\cos^2\theta} \implies \cos^2\theta = \frac{1}{5} \implies \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} sin⁡θ=tan⁡θ⋅cos⁡θ=2×55=255\sin\theta = \tan\theta \cdot \cos\theta = 2 \times \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{2\sqrt{5}}{5}

4. クイズ

  1. cos⁡60°\cos 60° と tan⁡45°\tan 45° の値を答えなさい。

    • 答えを見る正解：cos⁡60°=12\cos 60° = \dfrac{1}{2}、tan⁡45°=1\tan 45° = 1。

  2. cos⁡θ=513\cos\theta = \dfrac{5}{13}（0°<θ<90°0° < \theta < 90°）のとき、sin⁡θ\sin\theta を求めなさい。

    • 答えを見る正解：sin⁡θ=1213\sin\theta = \dfrac{12}{13}。sin⁡2θ=1−25169=144169\sin^2\theta = 1 - \dfrac{25}{169} = \dfrac{144}{169}、sin⁡θ>0\sin\theta > 0 より sin⁡θ=1213\sin\theta = \dfrac{12}{13}。

  3. 次の式を簡単にしなさい：sin⁡230°+cos⁡230°\sin^2 30° + \cos^2 30°

    • 答えを見る正解：11。三角比の相互関係 sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 より、任意の角で成立します。
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