データの整理【度数分布表・ヒストグラム・箱ひげ図・四分位数】

1. データを整理する必要性

集めたデータをそのまま並べても傾向はつかみにくいです。度数分布表やグラフに整理することで、データの分布の様子が見えてきます。

2. 度数分布表

データを一定の幅（階級の幅）で区切ったいくつかの区間（階級）に分け、各階級のデータの個数（度数）を表にしたものが度数分布表です。

2.1. 例題1：度数分布表の作成

次のデータ（テストの点数、10人分）を度数分布表にまとめなさい。

$$52,\ 65,\ 71,\ 48,\ 83,\ 67,\ 59,\ 76,\ 91,\ 62$$

階級の幅を $10$ にします。

3. ヒストグラム

度数分布表を棒グラフ形式で表したものをヒストグラム（柱状グラフ）といいます。横軸に階級、縦軸に度数（または相対度数）をとります。折れ線グラフで結んだものを度数折れ線（度数多角形）といいます。

ヒストグラムから：

• 分布の中心がどのあたりにあるか
• 分布の形（左右対称か、どちらかに偏っているか）
• 外れ値の有無

などが視覚的にわかります。

4. 四分位数

データを小さい順に並べたとき、データを $4$ 等分する値を四分位数といいます。

• 第1四分位数（$Q_1$）：下位 $25\%$ の位置の値
• 第2四分位数（$Q_2$）：中央値（$50\%$ の位置）
• 第3四分位数（$Q_3$）：上位 $25\%$ の位置の値

$Q_3 - Q_1$ を四分位範囲といい、データの散らばりを表します。

4.1. 四分位数の求め方

1. データを小さい順に並べる。
2. $Q_2$（中央値）を求める。
3. $Q_2$ より小さい半分のデータの中央値が $Q_1$。
4. $Q_2$ より大きい半分のデータの中央値が $Q_3$。

4.2. 例題2：四分位数の計算

次のデータの四分位数を求めなさい（昇順に並べてあります）。

$$3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11,\ 13,\ 15,\ 17,\ 19$$

データ数 $n = 9$。

• $Q_2$（中央値）：5番目の値 $= 11$
• 下半分：$3, 5, 7, 9$（$Q_2$ より小さい $4$ 個）→ $Q_1 = \dfrac{5+7}{2} = 6$
• 上半分：$13, 15, 17, 19$（$Q_2$ より大きい $4$ 個）→ $Q_3 = \dfrac{15+17}{2} = 16$

四分位範囲：$Q_3 - Q_1 = 16 - 6 = 10$

5. 箱ひげ図（ボックスプロット）

箱ひげ図は次の5つの値（五数要約）をグラフで表したものです。

$$\text{最小値},\quad Q_1,\quad Q_2,\quad Q_3,\quad \text{最大値}$$

• 箱の左端：$Q_1$
• 箱の内側の線：$Q_2$（中央値）
• 箱の右端：$Q_3$
• ひげ（左）：最小値まで伸びる線
• ひげ（右）：最大値まで伸びる線

箱ひげ図を使うと、外れ値の有無や分布の偏りが一目でわかります。

5.1. 例題3：箱ひげ図の読み取り

ある箱ひげ図で最小値 $10$、$Q_1 = 25$、$Q_2 = 40$、$Q_3 = 60$、最大値 $80$ とする。

• 中央値は $40$。
• データの中央 $50\%$ が $25$ から $60$ の範囲に集まる（箱の幅 $= 35$）。
• 最大値側のひげ（$60 \to 80$）が最小値側のひげ（$10 \to 25$）より長いので、データは上側に散らばっている。

6. クイズ

1. データ $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14$ の第1四分位数 $Q_1$ を求めなさい。

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     正解：$Q_1 = 4$。$Q_2 = 8$（中央値）、下半分は $2, 4, 6$ で中央値 $= 4$。

2. 度数分布表において「相対度数の合計」は必ずいくつになりますか？

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     正解：$1$（$100\%$）。すべての階級の相対度数を足し合わせると全体（$1$）になります。

3. 箱ひげ図の箱の幅は何を表していますか？

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     正解：四分位範囲（$Q_3 - Q_1$）を表します。全データの中央 $50\%$ が入る範囲です。