二次不等式の解き方【判別式・場合分け】

1. 二次不等式とは

$ax^2 + bx + c > 0$（$a \neq 0$）のような二次式を用いた不等式を二次不等式といいます。グラフ（放物線）と $x$ 軸の位置関係を使って解きます。

2. 解法の基本方針

$y = ax^2 + bx + c$ のグラフを考えます。

• $ax^2 + bx + c > 0$ の解 → グラフが $x$ 軸より上にある $x$ の範囲
• $ax^2 + bx + c < 0$ の解 → グラフが $x$ 軸より下にある $x$ の範囲

3. 判別式と解の個数

$$D = b^2 - 4ac$$

4. $a > 0$（下に凸）のときの解

$D > 0$（2つの異なる実数解 $\alpha < \beta$）

グラフは $\alpha$ と $\beta$ の間で $x$ 軸の下にあります。

$ax^2 + bx + c > 0 \quad \Rightarrow \quad x < \alpha \text{ または } x > \beta$ $ax^2 + bx + c < 0 \quad \Rightarrow \quad \alpha < x < \beta$

$D = 0$（重解 $\alpha$）

グラフは $x = \alpha$ でのみ $x$ 軸に接し、それ以外では $x$ 軸より上。

$ax^2 + bx + c > 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq \alpha \text{ のすべての実数}$ $ax^2 + bx + c < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{解なし}$

$D < 0$（実数解なし）

グラフは常に $x$ 軸より上。

$ax^2 + bx + c > 0 \quad \Rightarrow \quad \text{すべての実数}$ $ax^2 + bx + c < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{解なし}$

5. 例題で確認

5.1. 例題1：$D > 0$ の場合

$$x^2 - 5x + 4 < 0$$

左辺を因数分解します。

$$x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4)$$

$\alpha = 1$、$\beta = 4$、$a = 1 > 0$ なので、

$$1 < x < 4$$

5.2. 例題2：$D > 0$、大なり不等号

$$x^2 - 3x - 10 > 0$$ $$x^2 - 3x - 10 = (x+2)(x-5)$$

$\alpha = -2$、$\beta = 5$、$a = 1 > 0$ なので、

$$x < -2 \text{ または } x > 5$$

5.3. 例題3：$D = 0$ の場合

$$x^2 - 6x + 9 \leq 0$$ $$x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$$

重解 $\alpha = 3$、$a = 1 > 0$ なので $(x-3)^2 \leq 0$ を満たすのは $(x-3)^2 = 0$ のときのみ。

$$x = 3$$

5.4. 例題4：$D < 0$ の場合

$$x^2 + x + 1 > 0$$

判別式：$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0$

$a = 1 > 0$ かつ $D < 0$ なので、グラフは常に $x$ 軸より上。

$$\text{すべての実数}$$

5.5. 例題5：$a < 0$（上に凸）の場合

$$-x^2 + 4x - 3 > 0$$

両辺に $-1$ をかけて（不等号の向きを逆に）：

$$x^2 - 4x + 3 < 0 \implies (x-1)(x-3) < 0$$ $$1 < x < 3$$

6. 解法のまとめ（フローチャート）

二次不等式を解く手順
1. a > 0 になるよう調整（必要なら両辺に -1 をかけて不等号逆転）
2. 左辺の判別式 D を計算
3. D > 0 → 実数解 α < β を求めてグラフから解を読む
   D = 0 → 重解 α を求める（「解なし」か「x = α のみ」か「x ≠ α」）
   D < 0 → 「解なし」か「すべての実数」

7. クイズ

1. $x^2 - 7x + 10 \leq 0$ を解きなさい。

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     正解：$2 \leq x \leq 5$。$(x-2)(x-5) \leq 0$ なので $\alpha = 2$、$\beta = 5$。下に凸、小なり等号なので $\alpha$ と $\beta$ の間（端点含む）。

2. $x^2 - 4x + 4 > 0$ を解きなさい。

   • 答えを見る

     正解：$x \neq 2$ のすべての実数。$(x-2)^2 > 0$ は $x = 2$ 以外で成立。

3. $-2x^2 + 3x - 5 > 0$ を解きなさい。

   • 答えを見る

     正解：解なし。両辺に $-1$ をかけると $2x^2 - 3x + 5 < 0$。判別式 $D = 9 - 40 = -31 < 0$、$a = 2 > 0$ なので $2x^2 - 3x + 5 > 0$ が常に成立。よって不等式を満たす $x$ は存在しない。