三角比と角度【90°-θ・180°-θ・鈍角の変換】数学I

1. 三角比の拡張（単位円による定義）

直角三角形での三角比は $0° < \theta < 90°$ の範囲にしか使えません。これを $0° \leq \theta \leq 180°$ まで拡張するために単位円（半径 $1$ の円）を使います。

単位円の中心を原点として、点 $P$ が $x$ 軸の正の方向からの角が $\theta$ の位置にあるとき、 $P$ の座標を $(x, y)$ とすると、

\sin\theta = y, \quad \cos\theta = x, \quad \tan\theta = \frac{y}{x} \quad (x \neq 0)

と定義します。

この定義により：

$\sin\theta \geq 0$ は $0° \leq \theta \leq 180°$ で常に成立
$\cos\theta$ は $0° \leq \theta < 90°$ で正、 $90° < \theta \leq 180°$ で負
$\tan\theta$ は $0° \leq \theta < 90°$ で正、 $90° < \theta \leq 180°$ で負（ $\theta = 90°$ では定義なし）

\sin 90° = 1, \quad \cos 90° = 0, \quad \tan 90° = \text{定義なし}

$\cos 90° = 0$ なので $\tan 90° = \dfrac{\sin 90°}{\cos 90°} = \dfrac{1}{0}$ は定義されません。

\sin(90° - \theta) = \cos\theta

\cos(90° - \theta) = \sin\theta

\tan(90° - \theta) = \frac{1}{\tan\theta}

直角三角形で角が $\theta$ と $90° - \theta$ のとき、それぞれの対辺と隣辺が入れ替わることから導かれます。

$\sin 70°$ を $\cos$ で表しなさい。

\sin 70° = \sin(90° - 20°) = \cos 20°

\sin(180° - \theta) = \sin\theta

\cos(180° - \theta) = -\cos\theta

\tan(180° - \theta) = -\tan\theta

単位円で考えると、角 $\theta$ の点 $(x, y)$ を $y$ 軸に関して折り返した点 $(-x, y)$ が角 $180° - \theta$ に対応しているため、 $y$ 成分（ $\sin$ ）は同じで、 $x$ 成分（ $\cos$ ）だけ符号が変わります。

\sin 150° = \sin(180° - 30°) = \sin 30° = \frac{1}{2}

\cos 150° = \cos(180° - 30°) = -\cos 30° = -\frac{\sqrt{3}}{2}

\tan 150° = \tan(180° - 30°) = -\tan 30° = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}

$90°$ から $180°$ の角（鈍角）の三角比は、 $180° - \theta$ の変換公式を使って鋭角の値に帰着させます。

$\theta$	$\sin\theta$	$\cos\theta$	$\tan\theta$
$120°$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$-\dfrac{1}{2}$	$-\sqrt{3}$
$135°$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$-1$
$150°$	$\dfrac{1}{2}$	$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ （ $0° \leq \theta \leq 180°$ ）を満たす $\theta$ を求めなさい。

$\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす鋭角は $60°$ です。 $0° \leq \theta \leq 180°$ の範囲では $\sin$ が正の値をとる角が $2$ つあります。

\theta = 60° \quad \text{または} \quad \theta = 180° - 60° = 120°

$\cos\theta < 0$ かつ $\tan\theta < 0$ （ $0° \leq \theta \leq 180°$ ）を満たす $\theta$ の範囲を求めなさい。

$\cos\theta < 0$ ： $90° < \theta \leq 180°$
$\tan\theta < 0$ ： $90° < \theta \leq 180°$ （この範囲では $\tan < 0$ 、ただし $\theta = 90°$ で未定義）

両方を満たす範囲： $90° < \theta \leq 180°$ （ $\theta = 90°$ は $\tan$ が未定義なので除く）

$\cos 120°$ の値を求めなさい。
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  正解： $-\dfrac{1}{2}$ 。 $\cos(180°-60°) = -\cos 60° = -\dfrac{1}{2}$ 。
$\sin 75°$ を $\cos$ で表しなさい。
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  正解： $\cos 15°$ 。 $\sin(90°-15°) = \cos 15°$ 。
$\tan\theta = -1$ （ $90° < \theta \leq 180°$ ）を満たす $\theta$ を求めなさい。
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  正解： $\theta = 135°$ 。 $\tan 135° = \tan(180°-45°) = -\tan 45° = -1$ 。