相関係数と散布図【相関関係の読み方と計算】数学I

1. 散布図とは

2つの変数 $x$ と $y$ のデータを、横軸に $x$ 、縦軸に $y$ として座標平面上に点で表したグラフを散布図（散点図）といいます。

散布図を見ることで、2変数の間にどのような関係があるかを視覚的に確認できます。

散布図の点が右上がりに並ぶ傾向を正の相関、右下がりに並ぶ傾向を負の相関、特定の傾向がない場合を無相関といいます。

点が一直線に近いほど相関が強く、ばらけているほど相関が弱いです。

相関の強さと向きを $-1$ から $1$ の間の数値で表したものが相関係数（ピアソンの相関係数）です。 $r$ で表します。

r = \frac{s_{xy}}{s_x \cdot s_y}

ここで、

s_{xy} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})

$x$ と $y$ が同じ方向にずれる（ $x$ が大きいとき $y$ も大きい）とき、共分散は正になります。

おおまかな判断の目安：

次の5組のデータについて相関係数を求めなさい。

Step 1：平均を求める

\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = 3, \quad \bar{y} = \frac{2+4+3+6+5}{5} = 4

Step 2：偏差・分散・共分散を計算する

$i$	$x_i - \bar{x}$	$y_i - \bar{y}$	$(x_i-\bar{x})^2$	$(y_i-\bar{y})^2$	$(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$
1	$-2$	$-2$	$4$	$4$	$4$
2	$-1$	$0$	$1$	$0$	$0$
3	$0$	$-1$	$0$	$1$	$0$
4	$1$	$2$	$1$	$4$	$2$
5	$2$	$1$	$4$	$1$	$2$
合計	$0$	$0$	$10$	$10$	$8$

Step 3：分散・標準偏差・共分散

s_x^2 = \frac{10}{5} = 2 \implies s_x = \sqrt{2}

s_y^2 = \frac{10}{5} = 2 \implies s_y = \sqrt{2}

s_{xy} = \frac{8}{5} = 1.6

Step 4：相関係数

r = \frac{s_{xy}}{s_x \cdot s_y} = \frac{1.6}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{1.6}{2} = 0.8

$r = 0.8$ なので強い正の相関があります。

相関は因果関係を意味しない：2変数の間に相関があっても、一方が他方の原因とは限りません（例：アイスの売上と水難事故の件数は正の相関があるが、因果関係はなく、どちらも気温が原因）。
外れ値の影響を受けやすい：極端な値が $1$ つあるだけで相関係数が大きく変わります。
線形の関係のみを測る：曲線的な関係（例： $y = x^2$ ）があっても相関係数は低くなる場合があります。

相関係数 $r = -0.85$ の散布図はどのような特徴がありますか？
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  正解：強い負の相関。点が右下がりにほぼ一直線に並んでいる。
共分散 $s_{xy} = 0$ のとき、相関係数 $r$ はいくつですか？
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  正解： $r = 0$ 。 $r = \dfrac{s_{xy}}{s_x \cdot s_y} = \dfrac{0}{s_x \cdot s_y} = 0$ 。ただし標準偏差が $0$ でない場合に限ります。
「アイスクリームの売上と溺死者数の間に強い正の相関がある」とき、これはアイスが溺死の原因だといえますか？
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  正解：いいえ。相関は因果関係を示しません。気温という第三の変数（交絡変数）が両方に影響しているため、見かけの相関が生じています。