二次方程式の解き方【因数分解・解の公式】

1. 二次方程式とは

$x$ についての方程式のうち、次の形で表せるものを二次方程式といいます。

ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)

$a$ 、 $b$ 、 $c$ は定数で、 $a$ が $0$ だと $x^2$ の項が消えて一次方程式になってしまうため、 $a \neq 0$ という条件がつきます。

二次方程式の解き方には、大きく分けて次の2つの方法があります。

それぞれの手順を、例題を通して見ていきましょう。

左辺を $(x - p)(x - q) = 0$ の形に因数分解できれば、 $x = p$ または $x = q$ が解になります。これは、2つの数をかけて $0$ になるとき、少なくとも一方が $0$ でなければならないという性質を利用しています。

次の方程式を解きなさい。

x^2 - 5x + 6 = 0

かけて $6$ 、足して $-5$ になる2つの数を探すと、 $-2$ と $-3$ が見つかります。よって、

(x - 2)(x - 3) = 0

と因数分解できるので、解は

x = 2, \quad x = 3

です。

因数分解が難しい場合でも、解の公式を使えばどんな二次方程式でも解くことができます。

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

この公式は、 $ax^2 + bx + c = 0$ の $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値をそのまま代入するだけで使えます。

次の方程式を解きなさい。

2x^2 + 3x - 2 = 0

$a = 2$ 、 $b = 3$ 、 $c = -2$ を解の公式に代入すると、

x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \times 2 \times (-2)}}{2 \times 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}

よって、

x = \frac{1}{2}, \quad x = -2

となります。

どちらの方法でも同じ解が得られるので、状況に応じて使い分けられるようになると計算がスムーズになります。

次の方程式を因数分解で解きなさい: $x^2 - 7x + 12 = 0$
- 答えを見る
  正解: $x = 3, 4$ 。かけて $12$ 、足して $-7$ になる数は $-3$ と $-4$ なので $(x-3)(x-4)=0$ 。
次の方程式を解の公式で解きなさい: $x^2 - 2x - 1 = 0$
- 答えを見る
  正解: $x = 1 \pm \sqrt{2}$ 。 $a=1, b=-2, c=-1$ を代入すると $x = \dfrac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = \dfrac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$ となり、整数解にならないため解の公式が適しています。