一次不等式の解き方【不等式の性質・連立不等式】

1. 不等式の基本性質

不等式を変形するとき、次の性質を使います。

1. 両辺に同じ数を加えても（引いても）不等号の向きは変わらない

$$a < b \implies a + c < b + c$$

2. 両辺に正の数をかけても（正の数で割っても）向きは変わらない

$$a < b,\ c > 0 \implies ac < bc$$

3. 両辺に負の数をかけると（負の数で割ると）向きが逆になる

$$a < b,\ c < 0 \implies ac > bc$$

性質3が最も間違いやすいポイントです。負の数でかけ算・割り算をするとき、必ず不等号を逆向きにしましょう。

2. 一次不等式の解き方

一次不等式とは $ax + b > c$（$a \neq 0$）のような形の不等式で、解は数直線上の範囲として表されます。

基本的な手順：

1. 不等式を $ax > d$ の形に変形する（$x$ を含む項を左辺に、定数を右辺に移項）。
2. $a$ で両辺を割る。$a < 0$ のとき、不等号の向きを逆にする。

2.1. 例題1：基本的な一次不等式

$$3x - 5 > 1$$

右辺に $-5$ を移項します。

$$3x > 1 + 5 = 6$$

両辺を $3$（正の数）で割ります。

$$x > 2$$

数直線上では、$2$ より右側のすべての実数が解です。

2.2. 例題2：負の係数を含む不等式

$$-2x + 4 \geq 10$$

$4$ を移項します。

$$-2x \geq 10 - 4 = 6$$

両辺を $-2$（負の数）で割ります。不等号の向きが逆になります。

$$x \leq -3$$

3. 不等式を含む条件の整理

「$x$ は $3$ より大きく $7$ 以下」を不等式で表すと、

$$3 < x \leq 7$$

これを二重不等式といいます。

3.1. 例題3：二重不等式

$$-1 < 2x + 3 \leq 7$$

各辺から $3$ を引きます。

$$-4 < 2x \leq 4$$

各辺を $2$ で割ります（正の数なので向きはそのまま）。

$$-2 < x \leq 2$$

4. 連立不等式

2つ以上の不等式を同時に満たす $x$ の範囲を求めるのが連立不等式です。それぞれの不等式を別々に解いて、共通する範囲（共通部分）を求めます。

4.1. 例題4：連立不等式

$$\begin{cases} 2x - 1 > 3 \\ x + 4 \leq 9 \end{cases}$$

不等式①を解く：

$$2x > 4 \implies x > 2$$

不等式②を解く：

$$x \leq 5$$

共通部分： $x > 2$ かつ $x \leq 5$ なので、

$$2 < x \leq 5$$

数直線上で2つの解の範囲が重なった部分が答えです。

5. 応用：文章題への利用

「ある数 $x$ の $3$ 倍から $4$ を引いた値が $8$ 未満」を不等式にすると、

$$3x - 4 < 8 \implies 3x < 12 \implies x < 4$$

6. クイズ

1. $5x - 3 > 2x + 9$ を解きなさい。

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     正解：$x > 4$。移項して $3x > 12$、よって $x > 4$。

2. $-3x + 6 \leq 0$ を解きなさい。

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     正解：$x \geq 2$。$-3x \leq -6$、負の数 $-3$ で割るので不等号が逆になり $x \geq 2$。

3. 連立不等式 $\begin{cases} x + 2 > 5 \\ 2x - 1 \leq 9 \end{cases}$ を解きなさい。

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     正解：$3 < x \leq 5$。①より $x > 3$、②より $x \leq 5$。共通部分をとると $3 < x \leq 5$。