二次関数のグラフ【平方完成・頂点・移動】数学I

1. 二次関数の基本形

$a \neq 0$ のとき、

y = ax^2 + bx + c

の形の関数を二次関数といいます。そのグラフは放物線（パラボラ）と呼ばれる曲線です。

最もシンプルな二次関数 $y = ax^2$ のグラフについて：

$y = ax^2 + bx + c$ を $y = a(x-p)^2 + q$ の形（標準形）に変形することを平方完成といいます。標準形にすると頂点と軸がすぐに読み取れます。

y = ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c

頂点： $\left(-\dfrac{b}{2a},\ -\dfrac{b^2}{4a}+c\right)$ 、軸：直線 $x = -\dfrac{b}{2a}$

y = x^2 - 4x + 7

$x^2 - 4x$ の部分に注目します。

x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4

よって、

y = (x-2)^2 - 4 + 7 = (x-2)^2 + 3

頂点は $(2, 3)$ 、軸は直線 $x = 2$ 、 $a = 1 > 0$ なので下に凸の放物線です。

y = -2x^2 + 8x - 5

$-2$ を括り出します。

y = -2(x^2 - 4x) - 5 = -2\{(x-2)^2 - 4\} - 5

= -2(x-2)^2 + 8 - 5 = -2(x-2)^2 + 3

頂点は $(2, 3)$ 、軸は直線 $x = 2$ 、 $a = -2 < 0$ なので上に凸の放物線です。

$y = f(x)$ のグラフを平行移動・対称移動する変換を整理します。

$y=x²（青）、y=(x-2)²（赤・右に2移動）、y=x²+2（緑・上に2移動）の3つの放物線を同一座標系に描いた比較図$

$y = a(x-p)^2 + q$ は $y = ax^2$ を

平行移動したグラフです。

移動	変換
$x$ 方向に $+p$	$x$ を $x-p$ に置き換え
$y$ 方向に $+q$	$y$ を $y-q$ に置き換え（右辺に $+q$ ）

$y = 2x^2$ を $x$ 軸方向に $-1$ 、 $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動したグラフの式を求めなさい。

$x$ を $x-(-1) = x+1$ に置き換え、右辺に $+3$ します。

y = 2(x+1)^2 + 3

標準形 $y = a(x-p)^2 + q$ から次の情報がすぐ読み取れます。

$y = x^2 + 6x + 5$ を平方完成して頂点を求めなさい。
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  正解： $y = (x+3)^2 - 4$ 、頂点 $(-3, -4)$ 。 $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$ なので $-9+5 = -4$ 。
$y = 3(x-1)^2 + 2$ の軸と頂点を答えなさい。
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  正解：軸は直線 $x = 1$ 、頂点は $(1, 2)$ 。標準形から直接読み取れます。
$y = x^2$ を $x$ 軸方向に $2$ 、 $y$ 軸方向に $-3$ 平行移動した放物線の式は？
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  正解： $y = (x-2)^2 - 3$ 。 $x$ を $x-2$ に置き換え、右辺に $-3$ を足します。