分散と標準偏差の求め方をわかりやすく解説【データの分析】

1. 分散と標準偏差とは

データの平均値が同じでも、値の散らばり方はデータによって大きく異なります。この「散らばり具合」を数値で表すのが分散と標準偏差です。

• 分散: データが平均値からどれだけ離れているかを、2乗して平均した値
• 標準偏差: 分散の正の平方根

分散は2乗しているぶん元のデータと単位が変わってしまうため、元のデータと同じ単位で散らばりを表したいときに標準偏差を使います。

2. 分散の求め方(公式と手順)

データ $x_1, x_2, \dots, x_n$ の平均値を $\bar{x}$ とすると、分散 $s^2$ は次の式で求められます。

$$s^2 = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}(x_k - \bar{x})^2$$

計算の手順は次のとおりです。

1. データ全体の平均値 $\bar{x}$ を求める
2. 各データと平均値の差(偏差 $x_k - \bar{x}$)を求める
3. 偏差をそれぞれ2乗する
4. 2乗した値の平均を求める

2.1. 例題1: 少人数のデータで分散を求める

次の5つのデータの分散を求めなさい。

$$2, \ 4, \ 6, \ 8, \ 10$$

まず平均値を求めます。

$$\bar{x} = \frac{2+4+6+8+10}{5} = \frac{30}{5} = 6$$

次に、各データの偏差とその2乗を計算します。

偏差の2乗の合計は $16+4+0+4+16=40$ なので、分散は、

$$s^2 = \frac{40}{5} = 8$$

（本文中への画像挿入案: /images/math-1/bunsan-hyoujunhensa-guraf.png、alt=「データの各値と平均値の差(偏差)を示した図」をこのセクションの下に配置すると、偏差のイメージがつかみやすくなります。)

3. 標準偏差の求め方

標準偏差 $s$ は、分散 $s^2$ の正の平方根です。

$$s = \sqrt{s^2}$$

3.1. 例題2: 標準偏差を求める

例題1のデータの標準偏差を求めなさい。

分散は $s^2=8$ だったので、

$$s = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.83$$

4. 分散の別公式(工夫した計算方法)

分散は、次の公式でも求めることができます。

$$s^2 = \overline{x^2} - (\bar{x})^2$$

これは「2乗の平均」から「平均の2乗」を引くという計算で、偏差をいちいち求めなくてよいので、暗算や電卓での計算に向いています。

4.1. 例題3: 別公式で計算する

例題1のデータ $2, 4, 6, 8, 10$ について、別公式を使って分散を求めなさい。

まず2乗の平均を求めます。

$$\overline{x^2} = \frac{2^2+4^2+6^2+8^2+10^2}{5} = \frac{4+16+36+64+100}{5} = \frac{220}{5} = 44$$

平均値は $\bar{x}=6$ なので $(\bar{x})^2 = 36$。よって、

$$s^2 = 44 - 36 = 8$$

例題1と同じ結果 $8$ が得られ、公式が正しいことが確認できます。

5. クイズ

1. データ $3, 5, 7$ の分散を求めなさい。

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     正解: $\dfrac{8}{3}$。平均は $5$、偏差は $-2, 0, 2$、偏差の2乗の合計は $4+0+4=8$、分散は $8 \div 3 = \dfrac{8}{3}$。

2. 標準偏差が大きいデータは、小さいデータと比べてどのような特徴があるか説明しなさい。

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     正解: 標準偏差が大きいほど、データが平均値から離れて散らばっている(ばらつきが大きい)ことを表します。