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正弦定理と余弦定理【三角形の面積公式】

公開日: 2026/7/11

📐 公式まとめ

  • 2. 正弦定理

    asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R

  • 3. 余弦定理

    a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A

  • 3. 余弦定理

    b2=a2+c2−2accos⁡Bb^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B

  • 3. 余弦定理

    c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

  • 3. 余弦定理

    cos⁡A=b2+c2−a22bc\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

  • 4. 三角形の面積公式

    S=12bcsin⁡A=12casin⁡B=12absin⁡CS = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ca\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C

1. 三角形の表記

三角形 ABCABC において、頂点 AA、BB、CC の対辺の長さをそれぞれ aa、bb、cc と書きます。また角 AA、BB、CC はそれぞれ頂点での内角を表します。

三角形ABCの図。各頂点A・B・Cと対辺a・b・c、外接円の半径Rを示し、正弦定理・余弦定理の公式を図中に記した図解

2. 正弦定理

三角形 ABCABC の外接円の半径を RR とすると、

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R

この関係を正弦定理といいます。

正弦定理が使える場面：

  • 1辺とその向かいの角がわかっているとき
  • 外接円の半径を求めるとき

2.1. 例題1：正弦定理で辺を求める

三角形 ABCABC において A=30°A = 30°、a=4a = 4、B=45°B = 45° のとき、bb を求めなさい。

正弦定理より、

asin⁡A=bsin⁡B  ⟹  4sin⁡30°=bsin⁡45°\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \implies \frac{4}{\sin 30°} = \frac{b}{\sin 45°} 41/2=b2/2  ⟹  8=b2/2  ⟹  b=8×22=42\frac{4}{1/2} = \frac{b}{\sqrt{2}/2} \implies 8 = \frac{b}{\sqrt{2}/2} \implies b = 8 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}

2.2. 例題2：外接円の半径を求める

三角形 ABCABC において C=60°C = 60°、c=6c = 6 のとき、外接円の半径 RR を求めなさい。

2R=csin⁡C=6sin⁡60°=63/2=123=432R = \frac{c}{\sin C} = \frac{6}{\sin 60°} = \frac{6}{\sqrt{3}/2} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} R=23R = 2\sqrt{3}

3. 余弦定理

三角形 ABCABC において次の関係が成り立ちます。

a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A b2=a2+c2−2accos⁡Bb^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

これを余弦定理といいます。cos⁡A=90°\cos A = 90° のとき 2bccos⁡A=02bc\cos A = 0 となり、ピタゴラスの定理の一般化です。

逆に使うと角度を求めることもできます。

cos⁡A=b2+c2−a22bc\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

余弦定理が使える場面：

  • 2辺とその間の角がわかっているとき（残りの辺を求める）
  • 3辺がわかっているとき（角を求める）

3.1. 例題3：余弦定理で辺を求める

三角形 ABCABC において b=5b = 5、c=7c = 7、A=60°A = 60° のとき、aa を求めなさい。

a2=b2+c2−2bccos⁡A=25+49−2×5×7×cos⁡60°a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A = 25 + 49 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60° =74−70×12=74−35=39= 74 - 70 \times \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39 a=39a = \sqrt{39}

3.2. 例題4：余弦定理で角を求める

三角形 ABCABC において a=5a = 5、b=6b = 6、c=7c = 7 のとき、cos⁡A\cos A を求めなさい。

cos⁡A=b2+c2−a22bc=36+49−252×6×7=6084=57\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{36 + 49 - 25}{2 \times 6 \times 7} = \frac{60}{84} = \frac{5}{7}

4. 三角形の面積公式

三角形 ABCABC の面積 SS は、

S=12bcsin⁡A=12casin⁡B=12absin⁡CS = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ca\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C

2辺とその間の角がわかれば面積が求まります。

4.1. 例題5：面積を求める

三角形 ABCABC において b=4b = 4、c=6c = 6、A=30°A = 30° のとき面積を求めなさい。

S=12×4×6×sin⁡30°=12×12=6S = \frac{1}{2} \times 4 \times 6 \times \sin 30° = 12 \times \frac{1}{2} = 6

5. 正弦定理と余弦定理の使い分け

わかっていること 使う定理
1辺とその対角 正弦定理
2辺とその間の角 余弦定理
3辺 余弦定理（角を求める）
2角と1辺 正弦定理

6. クイズ

  1. 三角形 ABCABC で A=45°A = 45°、a=32a = 3\sqrt{2}、B=75°B = 75° のとき、外接円の半径 RR を求めなさい。

    • 答えを見る正解：R=3R = 3。2R=asin⁡A=32sin⁡45°=322/2=62R = \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{3\sqrt{2}}{\sin 45°} = \dfrac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}/2} = 6、よって R=3R = 3。

  2. 三角形 ABCABC で a=3a = 3、b=4b = 4、C=90°C = 90° のとき、cc を求めなさい。

    • 答えを見る正解：c=5c = 5。c2=9+16−2×3×4×cos⁡90°=25−0=25c^2 = 9 + 16 - 2 \times 3 \times 4 \times \cos 90° = 25 - 0 = 25。ピタゴラスの定理の特別ケース。

  3. 三角形 ABCABC で a=6a = 6、b=8b = 8、C=150°C = 150° のとき、面積を求めなさい。

    • 答えを見る正解：S=12S = 12。S=12×6×8×sin⁡150°=24×12=12S = \dfrac{1}{2} \times 6 \times 8 \times \sin 150° = 24 \times \dfrac{1}{2} = 12。
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