実数と根号【平方根・有理化・絶対値】

1. 実数の分類

実数は大きく有理数と無理数に分けられます。

実数
├── 有理数（分数 p/q で表せる数）
│   ├── 整数（…, -2, -1, 0, 1, 2, …）
│   │   ├── 負の整数
│   │   ├── 0
│   │   └── 正の整数（自然数）
│   └── 整数でない有理数（0.5, -1/3 など）
└── 無理数（√2, π など）

$\sqrt{2} = 1.41421356\ldots$ のように小数点以下が循環せずに無限に続く数が無理数です。

2. 平方根とは

$a \geq 0$ のとき、$x^2 = a$ を満たす非負の実数 $x$ を $a$ の平方根といい、$\sqrt{a}$（根号）で表します。

$$\sqrt{4} = 2, \quad \sqrt{9} = 3, \quad \sqrt{2} \approx 1.414$$

重要な性質：

$$(\sqrt{a})^2 = a \quad (a \geq 0)$$ $$\sqrt{a^2} = |a|$$

$\sqrt{a^2} = a$ ではなく $|a|$ であることに注意しましょう。たとえば $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 = |-3|$ です。

3. 根号の計算

3.1. 積と商

$$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab} \quad (a \geq 0,\ b \geq 0)$$ $$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \quad (a \geq 0,\ b > 0)$$

3.2. 根号の中を簡単にする

根号の中に平方因数がある場合は外に出します。

$$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$ $$\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}$$

3.3. 同類項のたし算・ひき算

根号の中が同じ項どうしはまとめられます。

$$3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$$ $$4\sqrt{3} - \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$$

3.4. 例題1：根号を含む計算

$$\sqrt{18} + \sqrt{8} - \sqrt{2}$$

まず各項を簡単にします。

$$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}, \quad \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$

よって、

$$3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$$

4. 有理化

分母に根号がある分数は、有理化して分母を整数に変えます。

$$\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{a}} \times \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}$$

分母が $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ の形のときは共役な式をかけます。

$$\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}$$

4.1. 例題2：有理化

$$\frac{3}{\sqrt{6}}$$

分子・分母に $\sqrt{6}$ をかけて、

$$\frac{3 \times \sqrt{6}}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$

4.2. 例題3：共役をかける有理化

$$\frac{4}{\sqrt{5} - 1}$$

分子・分母に $(\sqrt{5} + 1)$ をかけて、

$$\frac{4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5})^2 - 1^2} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{4} = \sqrt{5} + 1$$

5. 絶対値

実数 $a$ の絶対値 $|a|$ は、数直線上で $a$ が原点からどれだけ離れているかを表します。

$$|a| = \begin{cases} a & (a \geq 0) \\ -a & (a < 0) \end{cases}$$

例：$|3| = 3$、$|-5| = 5$、$|0| = 0$

根号との関係：$\sqrt{a^2} = |a|$（前述）

6. クイズ

1. $\sqrt{50} - \sqrt{18}$ を簡単にしなさい。

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     正解：$2\sqrt{2}$。$\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$、$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ なので $5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$。

2. $\dfrac{6}{\sqrt{3}}$ を有理化しなさい。

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     正解：$2\sqrt{3}$。分子・分母に $\sqrt{3}$ をかけると $\dfrac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$。

3. $\sqrt{(-4)^2}$ の値を求めなさい。

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     正解：$4$。$\sqrt{a^2} = |a|$ なので $\sqrt{(-4)^2} = |-4| = 4$。$-4$ ではないことに注意。