式の展開と因数分解【乗法公式・たすき掛け】

1. 式の展開とは

多項式どうしのかけ算を計算して、かっこを外した式に整理することを式の展開といいます。

$$( a + b )( c + d ) = ac + ad + bc + bd$$

すべての項どうしをかけ合わせればよいのですが、繰り返し登場するパターンを乗法公式として覚えておくと、計算が速くなります。

2. 主な乗法公式

以下の4つの公式は頻繁に使うので必ず覚えましょう。

$$( a + b )^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ $$( a - b )^2 = a^2 - 2ab + b^2$$ $$( a + b )( a - b ) = a^2 - b^2$$ $$( x + p )( x + q ) = x^2 + (p + q)x + pq$$

2.1. 例題1：乗法公式を使った展開

次の式を展開しなさい。

$$(2x + 3)^2$$

$a = 2x,\ b = 3$ として $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ を使うと、

$$(2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9$$

2.2. 例題2：和と差の積

$$(x + 5)(x - 5)$$

$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ の公式より、

$$x^2 - 25$$

3. 因数分解とは

因数分解は展開の逆操作です。多項式をいくつかの因数の積の形に変形します。

$$x^2 + (p+q)x + pq = (x+p)(x+q)$$

手順としては「かけてその数、足してその数になる2つの数を探す」ことが基本です。

3.1. 例題3：基本的な因数分解

$$x^2 + 7x + 12$$

かけて $12$、足して $7$ になる2つの数は $3$ と $4$ です。よって、

$$(x + 3)(x + 4)$$

4. たすき掛けによる因数分解

$x^2$ の係数が $1$ でないとき（例：$2x^2 + 5x + 3$）はたすき掛けを使います。

$ax^2 + bx + c$ を $(px + q)(rx + s)$ の形に因数分解するとき、

$$pr = a,\quad qs = c,\quad ps + qr = b$$

を満たす整数 $p, q, r, s$ を見つけます。

2本の斜め矢印が交差する形が「たすき」（胸に斜めがけする帯）の由来です。下の図で仕組みを確認してから例題に進みましょう。

4.1. 例題4：たすき掛け

$$2x^2 + 5x + 3$$

$a=2,\ c=3$ より候補を列挙します。

よって、

$$2x^2 + 5x + 3 = (2x + 3)(x + 1)$$

4.2. 例題5：共通因数を先に括り出す

因数分解するとき、最初に共通因数を括り出すと計算が楽になります。

$$6x^2 + 12x = 6x(x + 2)$$

5. まとめ

• 展開では乗法公式を使って計算を速める。
• 因数分解では「かけてこの数、足してこの数」を探す。
• $x^2$ の係数が $1$ でないときはたすき掛けを試す。
• 共通因数は最初に括り出す。

6. クイズ

1. 次の式を展開しなさい：$(3x - 2)^2$

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     正解：$9x^2 - 12x + 4$。$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ で $a=3x,\ b=2$ を代入します。

2. 次の式を因数分解しなさい：$x^2 - 3x - 18$

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     正解：$(x - 6)(x + 3)$。かけて $-18$、足して $-3$ になる数は $-6$ と $3$ です。

3. たすき掛けで因数分解しなさい：$3x^2 + 7x + 2$

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     正解：$(3x + 1)(x + 2)$。交差の和 $3{\times}2 + 1{\times}1 = 7$ となる組み合わせを探します。