合成関数と逆関数の微分のやり方【数学III】

1. 合成関数とは

合成関数とは、ある関数の出力を、別の関数の入力にする形でつなげた関数のことです。 $y=f(u)$ 、 $u=g(x)$ のとき、 $y$ を $x$ の関数として見たものを合成関数といい、 $y=f(g(x))$ と表します。例えば $y=(2x+1)^5$ は、 $u=2x+1$ 、 $y=u^5$ という2つの関数を合成したものと考えられます。

なお、合成関数を微分する考え方は、数列の極限と関数の極限で学ぶ極限の定義そのものから導かれています。

2. 合成関数の微分(連鎖律)

合成関数 $y=f(g(x))$ の微分は、次の連鎖律(チェインルール)を使って求めます。

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}

「外側の関数を、中身をそのままにして微分したもの」と「中身を微分したもの」をかけ合わせる、とイメージすると覚えやすくなります。

2.1. 例題1: 合成関数を微分する

$y=(2x+1)^5$ を微分しなさい。

$u=2x+1$ とおくと $y=u^5$ です。

\frac{dy}{du} = 5u^4, \qquad \frac{du}{dx} = 2

連鎖律より、

\frac{dy}{dx} = 5u^4 \times 2 = 10(2x+1)^4

2.2. 例題2: もう少し複雑な合成関数

$y=\sin(3x^2)$ を微分しなさい。

$u=3x^2$ とおくと $y=\sin u$ です。

\frac{dy}{du} = \cos u, \qquad \frac{du}{dx} = 6x

連鎖律より、

\frac{dy}{dx} = \cos u \times 6x = 6x\cos(3x^2)

（本文中への画像挿入案: /images/math-3/gouseikansuu-bibun-rensa.png、alt=「合成関数の微分(連鎖律)の考え方を示した図」をこのセクションの下に配置すると、外側の関数と内側の関数を順にたどるイメージが伝わりやすくなります。)

3. 逆関数とは

関数 $y=f(x)$ に対して、 $x$ と $y$ の役割を入れ替えた関数 $x=f^{-1}(y)$ を、 $f$ の逆関数といいます。 $y=f(x)$ のグラフと $y=f^{-1}(x)$ のグラフは、直線 $y=x$ について対称になります(指数関数と対数関数の関係もこの逆関数の関係の一例です)。

4. 逆関数の微分公式

逆関数の微分は、次の公式で求められます。

\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\dfrac{dy}{dx}}

$x$ を $y$ の関数として見たときの傾きは、もとの $y=f(x)$ の傾きの逆数になる、という関係です。

4.1. 例題3: 逆関数の微分を求める

$y=x^3$ ( $x>0$ )の逆関数について、 $\dfrac{dx}{dy}$ を求めなさい。

\frac{dy}{dx} = 3x^2

逆関数の微分公式より、

\frac{dx}{dy} = \frac{1}{3x^2}

逆関数は $x=y^{\frac13}$ なので、答えを $y$ だけの式で表すと、

\frac{dx}{dy} = \frac{1}{3y^{\frac23}}

5. クイズ

$y=(x^2+3)^4$ を微分しなさい。
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  正解: $\dfrac{dy}{dx}=8x(x^2+3)^3$ 。 $u=x^2+3$ とおくと $\dfrac{dy}{du}=4u^3$ 、 $\dfrac{du}{dx}=2x$ より $\dfrac{dy}{dx}=4u^3\times2x=8x(x^2+3)^3$ 。
$y=\cos(5x)$ を微分しなさい。
- 答えを見る
  正解: $\dfrac{dy}{dx}=-5\sin(5x)$ 。 $u=5x$ とおくと $\dfrac{dy}{du}=-\sin u$ 、 $\dfrac{du}{dx}=5$ より $\dfrac{dy}{dx}=-5\sin(5x)$ 。

合成関数と逆関数の微分のやり方をわかりやすく解説