面積・体積・曲線の長さ【定積分の応用】

定積分の最も重要な応用が、面積・体積・曲線の長さの計算です。それぞれ「無限に小さな量を足し合わせる」という積分の本質的な考え方から公式が導かれます。

1. 面積

1.1. 曲線と $x$ 軸の間の面積

$f(x) \geq 0$ のとき、曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸の間の面積は

$$S = \int_a^b f(x)\, dx$$

$f(x)$ が負になる区間がある場合は、絶対値を使います。

$$S = \int_a^b |f(x)|\, dx$$

1.2. 2曲線で囲まれた面積

曲線 $y = f(x)$ と $y = g(x)$ の間の面積（$[a, b]$ で $f(x) \geq g(x)$）は

$$S = \int_a^b [f(x) - g(x)]\, dx$$

一般には符号を気にしなくてよいよう絶対値を使います:

$$S = \int_a^b |f(x) - g(x)|\, dx$$

1.3. 媒介変数表示の曲線の面積

$x = f(t)$、$y = g(t)$（$f$ は単調）で表された曲線と $x$ 軸の間の面積:

$$S = \int_\alpha^\beta g(t)\, f'(t)\, dt \quad \text{（積分の向きに注意）}$$

2. 例題（面積）

問題1: $y = x^2$ と $y = x + 2$ で囲まれた図形の面積を求めなさい。

解答:

交点: $x^2 = x + 2 \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies (x-2)(x+1) = 0 \implies x = -1, 2$

区間 $[-1, 2]$ で $x + 2 \geq x^2$ なので

$$S = \int_{-1}^{2} [(x+2) - x^2]\, dx = \int_{-1}^{2}(-x^2 + x + 2)\, dx$$ $$= \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x\right]_{-1}^{2}$$ $$= \left(-\frac{8}{3} + 2 + 4\right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2\right)$$ $$= \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$$

3. 回転体の体積

3.1. $x$ 軸のまわりの回転体

曲線 $y = f(x)$ を $x$ 軸のまわりに回転させてできる回転体の体積は

$$V = \pi\int_a^b [f(x)]^2\, dx$$

考え方: $x$ から $x + dx$ の薄い円板（半径 $|f(x)|$、厚さ $dx$）の体積 $\pi[f(x)]^2\, dx$ を積分します。

3.2. 2曲線の間の回転体

$$V = \pi\int_a^b \left[\{f(x)\}^2 - \{g(x)\}^2\right]\, dx \quad (f(x) \geq g(x) \geq 0)$$

3.3. $y$ 軸のまわりの回転体

$x = h(y)$ の形に整理して

$$V = \pi\int_c^d [h(y)]^2\, dy$$

4. 例題（体積）

問題2: 曲線 $y = \sqrt{x}$ と直線 $x = 4$、$x$ 軸で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに回転させた回転体の体積を求めなさい。

解答:

$$V = \pi\int_0^4 (\sqrt{x})^2\, dx = \pi\int_0^4 x\, dx = \pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = \pi \cdot 8 = 8\pi$$

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問題3: $y = x^2$ と $y = x$ で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに回転させた立体の体積を求めなさい。

解答:

交点: $x^2 = x \implies x(x-1) = 0 \implies x = 0, 1$。区間 $[0,1]$ で $x \geq x^2$。

$$V = \pi\int_0^1 [x^2 - (x^2)^2]\, dx = \pi\int_0^1 (x^2 - x^4)\, dx$$ $$= \pi\left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \pi\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) = \frac{2\pi}{15}$$

5. 曲線の長さ

5.1. $y = f(x)$ の場合

曲線 $y = f(x)$（$a \leq x \leq b$）の長さは

$$L = \int_a^b \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\, dx = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\, dx$$

考え方: 微小区間 $dx$ における曲線の長さを $\sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} = \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\, dx$ と近似して積分します。

5.2. 媒介変数表示 $x = f(t)$、$y = g(t)$ の場合

$$L = \int_\alpha^\beta \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\, dt$$

6. 例題（曲線の長さ）

問題4: 曲線 $y = \dfrac{2}{3}x^{3/2}$（$0 \leq x \leq 3$）の長さを求めなさい。

解答:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{1/2} = x^{1/2} = \sqrt{x}$$ $$L = \int_0^3 \sqrt{1 + (\sqrt{x})^2}\, dx = \int_0^3 \sqrt{1 + x}\, dx$$ $$= \left[\frac{2}{3}(1+x)^{3/2}\right]_0^3 = \frac{2}{3}(4^{3/2} - 1^{3/2}) = \frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{14}{3}$$

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問題5（媒介変数）: サイクロイド $x = t - \sin t$、$y = 1 - \cos t$（$0 \leq t \leq 2\pi$）の一周期の長さを求めなさい。

解答:

$$\frac{dx}{dt} = 1 - \cos t, \quad \frac{dy}{dt} = \sin t$$ $$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = (1-\cos t)^2 + \sin^2 t$$ $$= 1 - 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t = 2 - 2\cos t = 2(1 - \cos t)$$

半角公式 $1 - \cos t = 2\sin^2\dfrac{t}{2}$ を使うと

$$\sqrt{2(1-\cos t)} = \sqrt{4\sin^2\frac{t}{2}} = 2\left|\sin\frac{t}{2}\right| = 2\sin\frac{t}{2} \quad (0 \leq t \leq 2\pi)$$ $$L = \int_0^{2\pi} 2\sin\frac{t}{2}\, dt = \left[-4\cos\frac{t}{2}\right]_0^{2\pi} = -4\cos\pi + 4\cos 0 = 4 + 4 = 8$$

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7. クイズ

1. 曲線 $y = \sin x$（$0 \leq x \leq \pi$）と $x$ 軸で囲まれた面積はいくらですか？

   正解: $2$ $S = \int_0^{\pi}\sin x\, dx = [-\cos x]_0^{\pi} = 1 + 1 = 2$。

2. 曲線 $y = x^2$（$0 \leq x \leq 2$）を $x$ 軸のまわりに回転させた立体の体積はいくらですか？

   正解: $\dfrac{32\pi}{5}$ $V = \pi\int_0^2 (x^2)^2\, dx = \pi\int_0^2 x^4\, dx = \pi\left[\dfrac{x^5}{5}\right]_0^2 = \dfrac{32\pi}{5}$。

3. $y = \dfrac{x^2}{2}$ の $0 \leq x \leq 2$ における曲線の長さを求める式を書きなさい（計算まで不要）。

   正解: $\dfrac{dy}{dx} = x$ なので $L = \displaystyle\int_0^2 \sqrt{1+x^2}\, dx$。