無限級数【等比無限級数・収束条件】

「無限に足し続けたとき、その合計は有限の値に近づくのか？」——これが無限級数の中心的な問いです。直感的に不思議に感じますが、収束・発散の条件を理解すれば明確に判定できます。

1. 無限級数とは

数列 $\{a_n\}$ の各項を無限に加えた式

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$$

を無限級数といいます。

部分和 $S_n$ を

$$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$$

と定義します。$n \to \infty$ のとき $S_n$ が一定の値 $S$ に収束するならば、無限級数はその値に収束するといい

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = S$$

と書きます。$S_n$ が収束しない場合は、無限級数は発散します。

2. 収束の必要条件

無限級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ が収束するならば、$\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = 0$

注意: これは必要条件であり、十分条件ではありません。$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ であっても発散する無限級数は存在します（調和級数 $\sum \frac{1}{n}$ が典型例）。

3. 等比無限級数

初項 $a$、公比 $r$ の等比数列の無限級数

$$\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = a + ar + ar^2 + \cdots$$

を等比無限級数といいます。

3.1. 収束・発散の条件と和

3.2. なぜ $|r| < 1$ で収束するか

部分和は

$$S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \quad (r \neq 1)$$

$|r| < 1$ のとき $r^n \to 0$（$n \to \infty$）なので

$$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a(1-0)}{1-r} = \frac{a}{1-r}$$

$|r| > 1$ のとき $|r^n| \to \infty$ なので $S_n$ は発散します。$r = 1$ のとき $S_n = na \to \pm\infty$、$r = -1$ のとき $S_n$ は振動して発散します。

4. 無限級数の基本的な性質

収束する無限級数 $\displaystyle\sum a_n = A$、$\displaystyle\sum b_n = B$ に対して

$$\sum_{n=1}^{\infty} (a_n \pm b_n) = A \pm B$$ $$\sum_{n=1}^{\infty} k a_n = kA \quad (k \text{ は定数})$$

が成り立ちます。

5. 循環小数と等比無限級数

循環小数は等比無限級数で表せます。例えば $0.\overline{3} = 0.333\cdots$ は

$$0.3 + 0.03 + 0.003 + \cdots = \frac{0.3}{1 - 0.1} = \frac{0.3}{0.9} = \frac{1}{3}$$

と確認できます。

6. 例題

問題1: 次の等比無限級数の収束・発散を判定し、収束する場合は和を求めなさい。

$$3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \cdots$$

解答:

初項 $a = 3$、公比 $r = \dfrac{1}{3}$。

$|r| = \dfrac{1}{3} < 1$ なので収束する。

$$S = \frac{a}{1-r} = \frac{3}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{\frac{2}{3}} = \frac{9}{2}$$

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問題2: 次の無限級数の和を求めなさい。

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$$

解答:

部分分数分解を使います。

$$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$$

部分和を計算すると（望遠鏡和）:

$$S_n = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1}$$ $$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n+1}\right) = 1$$

よって $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1$。

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問題3: $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (2x)^n$ が収束するような $x$ の範囲を求めなさい。

解答:

等比無限級数（初項 $2x$、公比 $2x$）が収束するには $|2x| < 1$ が必要です。

$$-1 < 2x < 1 \implies -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$$

ただし $x = 0$ のとき $\sum 0 = 0$ で収束するので、$-\dfrac{1}{2} < x < \dfrac{1}{2}$。

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7. クイズ

1. 等比無限級数 $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots$ の和はいくらですか？

   正解: $2$ 初項 $a=1$、公比 $r=\dfrac{1}{2}$。$|r|<1$ なので $S = \dfrac{1}{1-\frac{1}{2}} = 2$。

2. 無限級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(-\frac{2}{3}\right)^n$ は収束しますか？ 収束する場合は和を求めなさい。

   正解: 収束し、和は $-\dfrac{2}{5}$ 初項 $a = -\dfrac{2}{3}$、公比 $r = -\dfrac{2}{3}$。$|r| = \dfrac{2}{3} < 1$ なので収束。$S = \dfrac{-\frac{2}{3}}{1-(-\frac{2}{3})} = \dfrac{-\frac{2}{3}}{\frac{5}{3}} = -\dfrac{2}{5}$。

3. 等比無限級数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} 3 \cdot r^n$ が収束するための $r$ の条件を答えなさい。

   正解: $-1 < r < 1$ 収束条件は $|r| < 1$、すなわち $-1 < r < 1$。