📐 極限の公式まとめ

「極限」で学ぶ公式をまとめました。各公式をタップすると解説記事にジャンプします。

数列の極限と関数の極限の求め方をわかりやすく解説

1. 関数の極限とは
$\lim_{x \to a} f(x) = L$
1.1. 右側極限と左側極限
$\text{右側極限：} \lim_{x \to a+0} f(x), \quad \text{左側極限：} \lim_{x \to a-0} f(x)$
1.1. 右側極限と左側極限
$\lim_{x \to a+0} f(x) = \lim_{x \to a-0} f(x) = L$
2.1. x→∞x \to \inftyx→∞ のときの極限
$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0, \quad \lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$
3.1. 代入で求められる場合
$\lim_{x \to 2} (3x^2 - x + 1) = 3(2)^2 - 2 + 1 = 11$
3.2. 00\frac{0}{0}00 型（不定形）の処理
$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1) = 2$
3.3. ∞∞\frac{\infty}{\infty}∞∞ 型の処理
$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + x}{2x^2 - 5} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{1}{x}}{2 - \frac{5}{x^2}} = \frac{3}{2}$
4. はさみうちの原理
$\lim_{x \to 0} x \sin\frac{1}{x} = 0$
5. 重要な極限公式
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
5. 重要な極限公式
$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$
5. 重要な極限公式
$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1$
5. 重要な極限公式
$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$

1. 無限級数とは
$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$
1. 無限級数とは
$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$
1. 無限級数とは
$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = S$
3. 等比無限級数
$\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = a + ar + ar^2 + \cdots$
3.2. なぜ ∣r∣<1|r| < 1∣r∣<1 で収束するか
$S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \quad (r \neq 1)$
3.2. なぜ ∣r∣<1|r| < 1∣r∣<1 で収束するか
$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a(1-0)}{1-r} = \frac{a}{1-r}$
4. 無限級数の基本的な性質
$\sum_{n=1}^{\infty} (a_n \pm b_n) = A \pm B$
4. 無限級数の基本的な性質
$\sum_{n=1}^{\infty} k a_n = kA \quad (k \text{ は定数})$
5. 循環小数と等比無限級数
$0.3 + 0.03 + 0.003 + \cdots = \frac{0.3}{1 - 0.1} = \frac{0.3}{0.9} = \frac{1}{3}$