定積分の計算【基本定理・置換・部分積分の応用】

定積分は積分法の核心であり、面積・体積・曲線の長さなど広い応用を持ちます。この記事では微積分の基本定理から出発し、置換積分・部分積分を定積分でどう使うか、具体的な計算手順とともに解説します。

1. 微積分の基本定理

$f(x)$ が $[a, b]$ で連続で $F'(x) = f(x)$ のとき

$$\int_a^b f(x)\, dx = \left[F(x)\right]_a^b = F(b) - F(a)$$

これが微積分の基本定理（Newton-Leibniz の公式）です。不定積分で原始関数 $F(x)$ を求め、上限・下限を代入するだけで定積分の値が計算できます。

1.1. 定積分の基本的な性質

$$\int_a^b f(x)\, dx = -\int_b^a f(x)\, dx$$ $$\int_a^a f(x)\, dx = 0$$ $$\int_a^b [f(x) \pm g(x)]\, dx = \int_a^b f(x)\, dx \pm \int_a^b g(x)\, dx$$ $$\int_a^b kf(x)\, dx = k\int_a^b f(x)\, dx$$ $$\int_a^b f(x)\, dx = \int_a^c f(x)\, dx + \int_c^b f(x)\, dx$$

2. 偶関数・奇関数の定積分

原点について対称な区間 $[-a, a]$ では計算が大幅に楽になります。

• $f(x)$ が偶関数（$f(-x) = f(x)$）のとき:

$$\int_{-a}^{a} f(x)\, dx = 2\int_0^a f(x)\, dx$$

• $f(x)$ が奇関数（$f(-x) = -f(x)$）のとき:

$$\int_{-a}^{a} f(x)\, dx = 0$$

3. 置換積分（定積分への応用）

不定積分と異なり、定積分で置換するときは積分の上限・下限も変換する必要があります。

$x = g(t)$ と置くと $dx = g'(t)\, dt$、かつ

• $x = a \implies t = \alpha$（$g(\alpha) = a$）
• $x = b \implies t = \beta$（$g(\beta) = b$）

$$\int_a^b f(x)\, dx = \int_\alpha^\beta f(g(t))\, g'(t)\, dt$$

3.1. 例題（置換積分）

問題1: $\displaystyle\int_0^1 x\sqrt{1-x^2}\, dx$ を求めなさい。

解答:

$t = 1 - x^2$ とおくと $dt = -2x\, dx$、すなわち $x\, dx = -\dfrac{1}{2}dt$。

上限・下限の変換:

• $$x = 0 \implies t = 1$$
• $$x = 1 \implies t = 0$$

$$\int_0^1 x\sqrt{1-x^2}\, dx = \int_1^0 \sqrt{t}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\, dt = \frac{1}{2}\int_0^1 \sqrt{t}\, dt$$ $$= \frac{1}{2}\left[\frac{2}{3}t^{3/2}\right]_0^1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$

---

問題2: $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^3 x\cos x\, dx$ を求めなさい。

解答:

$t = \sin x$ とおくと $dt = \cos x\, dx$。

• $$x = 0 \implies t = 0$$
• $$x = \pi/2 \implies t = 1$$

$$\int_0^{\pi/2} \sin^3 x\cos x\, dx = \int_0^1 t^3\, dt = \left[\frac{t^4}{4}\right]_0^1 = \frac{1}{4}$$

4. 部分積分（定積分への応用）

$$\int_a^b f(x)g'(x)\, dx = \left[f(x)g(x)\right]_a^b - \int_a^b f'(x)g(x)\, dx$$

4.1. 例題（部分積分）

問題3: $\displaystyle\int_0^1 x e^x\, dx$ を求めなさい。

解答:

$f(x) = x$、$g'(x) = e^x$ とおくと $f'(x) = 1$、$g(x) = e^x$。

$$\int_0^1 xe^x\, dx = \left[xe^x\right]_0^1 - \int_0^1 e^x\, dx$$ $$= (1 \cdot e^1 - 0) - \left[e^x\right]_0^1 = e - (e - 1) = 1$$

---

問題4: $\displaystyle\int_1^e \log x\, dx$ を求めなさい。

解答:

$f(x) = \log x$、$g'(x) = 1$ とおくと $f'(x) = \dfrac{1}{x}$、$g(x) = x$。

$$\int_1^e \log x\, dx = \left[x\log x\right]_1^e - \int_1^e x \cdot \frac{1}{x}\, dx$$ $$= (e\log e - 1\cdot\log 1) - \int_1^e 1\, dx$$ $$= (e \cdot 1 - 0) - [x]_1^e = e - (e - 1) = 1$$

5. 区分求積法と定積分の関係

$$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} f\!\left(\frac{k}{n}\right)\frac{1}{n} = \int_0^1 f(x)\, dx$$

この公式は区分求積法と定積分を結ぶもので、数列の極限を定積分に帰着させるときに使います。

例: $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{\frac{k}{n}} = \int_0^1 \sqrt{x}\, dx = \left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_0^1 = \frac{2}{3}$

関連記事: 置換積分・部分積分（不定積分） / 面積・体積・曲線の長さ

6. クイズ

1. $\displaystyle\int_{-2}^{2} (x^3 + 3x)\, dx$ の値はいくらですか？

   正解: $0$ $f(x) = x^3 + 3x$ は奇関数（$f(-x) = -f(x)$）なので、$[-2, 2]$ の対称区間での積分は $0$。

2. $\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\, dx$ の値を求めなさい。

   正解: $2$ $\int_0^{\pi}\sin x\, dx = [-\cos x]_0^{\pi} = (-\cos\pi) - (-\cos 0) = 1 + 1 = 2$。

3. $\displaystyle\int_0^1 xe^{2x}\, dx$ を部分積分で求めなさい。

   正解: $f(x)=x$、$g'(x)=e^{2x}$（$g(x)=\frac{1}{2}e^{2x}$）で部分積分。$\left[\frac{x}{2}e^{2x}\right]_0^1 - \int_0^1\frac{1}{2}e^{2x}dx = \frac{e^2}{2} - \left[\frac{1}{4}e^{2x}\right]_0^1 = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2-1}{4} = \frac{e^2+1}{4}$。