置換積分と部分積分のやり方をやさしく解説

1. 置換積分とは

置換積分は、被積分関数の中に「ある関数とその導関数の積」の形が見つかるとき、その関数を新しい変数 $u$ に置き換えることで積分を簡単にする方法です。

\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du \quad (u=g(x))

これは、合成関数の微分(連鎖律) の逆の操作にあたります。

次の不定積分を求めなさい。

\int 2x(x^2+1)^3\,dx

$u=x^2+1$ とおくと $du=2x\,dx$ なので、

\int 2x(x^2+1)^3\,dx = \int u^3\,du = \frac{u^4}{4} + C = \frac{(x^2+1)^4}{4} + C

次の定積分を求めなさい。

\int_0^1 2x(x^2+1)^3\,dx

$u=x^2+1$ とおくと、 $x=0$ のとき $u=1$ 、 $x=1$ のとき $u=2$ です。積分区間も $u$ に合わせて書き換えると、

\int_0^1 2x(x^2+1)^3\,dx = \int_1^2 u^3\,du = \left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2 = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}

部分積分は、積の微分公式 $(uv)'=u'v+uv'$ を積分の形に書き直したもので、次の公式が成り立ちます。

\int u'v\,dx = uv - \int uv'\,dx

かけ算の形をした式で、片方を積分しやすく、もう片方を微分しやすくなるように $u$ 、 $v'$ を選ぶのがコツです。

（本文中への画像挿入案: /images/math-3/chikan-bubun-sekibun-bubun.png、alt=「部分積分の公式の適用手順(u,v'の選び方)を示した図」をこのセクションの下に配置すると、どちらを微分しどちらを積分するかの判断がイメージしやすくなります。)

次の不定積分を求めなさい。

\int x e^x\,dx

$u=x$ (微分すると簡単になる)、 $v'=e^x$ (積分しやすい)とおくと、 $u'=1$ 、 $v=e^x$ なので、

\int x e^x\,dx = xe^x - \int e^x\,dx = xe^x - e^x + C = e^x(x-1) + C

次の不定積分を求めなさい。

\int x^2 e^x\,dx

まず $u=x^2$ 、 $v'=e^x$ として部分積分すると、

\int x^2 e^x\,dx = x^2e^x - \int 2x e^x\,dx = x^2e^x - 2\int x e^x\,dx

$\displaystyle\int xe^x\,dx$ は例題3の結果 $xe^x-e^x+C$ を使えるので、

= x^2e^x - 2(xe^x - e^x) + C = x^2e^x - 2xe^x + 2e^x + C = e^x(x^2-2x+2) + C

$\displaystyle\int 3x^2(x^3+2)^2\,dx$ を置換積分で求めなさい。
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  正解: $\dfrac{(x^3+2)^3}{3}+C$ 。 $u=x^3+2$ とおくと $du=3x^2dx$ なので $\displaystyle\int u^2\,du=\dfrac{u^3}{3}+C$ 。
$\displaystyle\int x\cos x\,dx$ を部分積分で求めなさい。
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  正解: $x\sin x + \cos x + C$ 。 $u=x$ 、 $v'=\cos x$ とおくと $u'=1$ 、 $v=\sin x$ より $\displaystyle\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C$ 。