関数の極限【収束・発散・はさみうちの原理】

数学IIIの「極限」は、微分法・積分法のすべての基礎となる重要な概念です。この記事では、関数の極限の意味から始め、収束・発散の判定、そして強力な道具であるはさみうちの原理まで、ひとつずつ丁寧に解説します。

1. 関数の極限とは

$x$ が限りなくある値 $a$ に近づくとき、関数 $f(x)$ の値がある一定の値 $L$ に限りなく近づくならば、「$x \to a$ のとき $f(x)$ は $L$ に収束する」といい、次のように書きます。

$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$

ポイント: $x = a$ における $f(a)$ の値そのものではなく、$x$ が $a$ に「近づいていく過程」を見ています。$f(a)$ が定義されていなくても極限値は存在することがあります。

1.1. 右側極限と左側極限

$x$ が $a$ より大きい側から近づく場合を右側極限、小さい側から近づく場合を左側極限といいます。

$$\text{右側極限：} \lim_{x \to a+0} f(x), \quad \text{左側極限：} \lim_{x \to a-0} f(x)$$

$\lim_{x \to a} f(x) = L$ が成り立つための必要十分条件は、右側極限と左側極限が等しく、どちらも $L$ に等しいことです。

$$\lim_{x \to a+0} f(x) = \lim_{x \to a-0} f(x) = L$$

2. 収束・発散

2.1. $x \to \infty$ のときの極限

$x$ が限りなく大きくなるとき（$x \to +\infty$）の極限も同様に定義されます。例えば：

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0, \quad \lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$$

3. 極限の基本的な計算

3.1. 代入で求められる場合

$f(x)$ が $x = a$ で連続ならば、そのまま代入できます。

$$\lim_{x \to 2} (3x^2 - x + 1) = 3(2)^2 - 2 + 1 = 11$$

3.2. $\frac{0}{0}$ 型（不定形）の処理

$x \to a$ のとき分子・分母がともに $0$ になる場合は、因数分解や有理化で約分してから求めます。

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1) = 2$$

3.3. $\frac{\infty}{\infty}$ 型の処理

分子・分母の最高次の項で割ります。

$$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + x}{2x^2 - 5} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{1}{x}}{2 - \frac{5}{x^2}} = \frac{3}{2}$$

4. はさみうちの原理

直接極限が求めにくいとき、上下から挟み込んで極限を決める方法が**はさみうちの原理（挟み撃ちの定理）**です。

$g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ かつ $\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$ ならば、$\lim_{x \to a} f(x) = L$

$$\lim_{x \to 0} x \sin\frac{1}{x} = 0$$

を示す場合、$-|x| \leq x\sin\frac{1}{x} \leq |x|$ かつ $\lim_{x \to 0} (-|x|) = \lim_{x \to 0} |x| = 0$ なので、はさみうちの原理より $0$ と確定します。

5. 重要な極限公式

高校数学IIIで頻出の極限公式を覚えておきましょう。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$ $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$$ $$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1$$ $$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$$

これらはそのまま使えますが、証明にははさみうちの原理などが使われています。

6. 例題

問題: 次の極限を求めなさい。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x}$$

解答:

分子を有理化します（分子・分母に $(\sqrt{1+x}+1)$ をかける）。

$$\frac{\sqrt{1+x} - 1}{x} = \frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)} = \frac{(1+x)-1}{x(\sqrt{1+x}+1)} = \frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)} = \frac{1}{\sqrt{1+x}+1}$$

よって

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1+x}+1} = \frac{1}{\sqrt{1}+1} = \frac{1}{2}$$

問題2: 次の極限を求めなさい。

$$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+3x} - x)$$

解答:

$\infty - \infty$ 型の不定形なので、有理化します。

$$\sqrt{x^2+3x} - x = \frac{(\sqrt{x^2+3x}-x)(\sqrt{x^2+3x}+x)}{\sqrt{x^2+3x}+x} = \frac{(x^2+3x)-x^2}{\sqrt{x^2+3x}+x} = \frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x}$$

$x > 0$ のとき $\sqrt{x^2+3x} = x\sqrt{1+\frac{3}{x}}$ なので、

$$= \frac{3x}{x\sqrt{1+\frac{3}{x}}+x} = \frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1} \xrightarrow{x \to \infty} \frac{3}{\sqrt{1}+1} = \frac{3}{2}$$

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7. クイズ

1. $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ の値はいくらですか？

   正解: $4$ $\frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x+2)(x-2)}{x-2} = x+2$ と因数分解し、$x \to 2$ を代入すると $2+2=4$。

2. $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 - 2x}{3x^3 + x^2}$ の値はいくらですか？

   正解: $\dfrac{5}{3}$ 分子・分母を $x^3$ で割ると $\dfrac{5 - \frac{2}{x^2}}{3 + \frac{1}{x}} \to \dfrac{5}{3}$。

3. はさみうちの原理を使って $\displaystyle\lim_{x \to 0} x^2 \cos\frac{1}{x}$ を求めなさい。

   正解: $0$ $-x^2 \leq x^2\cos\frac{1}{x} \leq x^2$ であり、$\lim_{x \to 0}(-x^2) = \lim_{x \to 0} x^2 = 0$ なので、はさみうちの原理より $0$。