媒介変数表示の微分【パラメータ微分・曲線の接線】

$x$ と $y$ をそれぞれ第三の変数（パラメータ、媒介変数） $t$ で表した曲線の微分を求める方法を学びます。サイクロイドや楕円など、 $y = f(x)$ の形で直接表しにくい曲線でも、この手法で接線の傾きを求めることができます。

1. 媒介変数表示とは

曲線が

x = f(t), \quad y = g(t)

のように、パラメータ $t$ を使って表されているとき、これを媒介変数表示（パラメータ表示）といいます。

例: 単位円は $x = \cos t$ 、 $y = \sin t$ （ $0 \leq t < 2\pi$ ）と表せます。

$x = f(t)$ 、 $y = g(t)$ がともに微分可能で $\dfrac{dx}{dt} = f'(t) \neq 0$ のとき、

\frac{dy}{dx} = \frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} = \frac{g'(t)}{f'(t)}

連鎖律（合成関数の微分）から

\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}

これを $\dfrac{dy}{dx}$ について解くと上の公式が得られます。

\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\!\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{\dfrac{dx}{dt}}

パラメータ $t = t_0$ に対応する点 $(x_0, y_0) = (f(t_0), g(t_0))$ における接線の傾きは

m = \frac{g'(t_0)}{f'(t_0)}

接線の方程式は

y - y_0 = m(x - x_0)

問題1（基本）: 次の媒介変数表示の曲線について、 $t = \dfrac{\pi}{4}$ における接線の方程式を求めなさい。

x = 2\cos t, \quad y = 3\sin t

解答:

\frac{dx}{dt} = -2\sin t, \quad \frac{dy}{dt} = 3\cos t

\frac{dy}{dx} = \frac{3\cos t}{-2\sin t} = -\frac{3\cos t}{2\sin t}

$t = \dfrac{\pi}{4}$ のとき

\frac{dy}{dx}\bigg|_{t=\frac{\pi}{4}} = -\frac{3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = -\frac{3}{2}

接点の座標:

x_0 = 2\cos\frac{\pi}{4} = \sqrt{2}, \quad y_0 = 3\sin\frac{\pi}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{2}

接線の方程式:

y - \frac{3\sqrt{2}}{2} = -\frac{3}{2}(x - \sqrt{2})

y = -\frac{3}{2}x + \frac{3\sqrt{2}}{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2} = -\frac{3}{2}x + 3\sqrt{2}

問題2（発展・サイクロイド）: サイクロイドの接線を求めなさい。

x = t - \sin t, \quad y = 1 - \cos t

$t = \dfrac{\pi}{2}$ における接線の方程式を求めなさい。

解答:

\frac{dx}{dt} = 1 - \cos t, \quad \frac{dy}{dt} = \sin t

\frac{dy}{dx} = \frac{\sin t}{1 - \cos t}

$t = \dfrac{\pi}{2}$ のとき

\frac{dy}{dx}\bigg|_{t=\frac{\pi}{2}} = \frac{\sin\frac{\pi}{2}}{1-\cos\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{1-0} = 1

接点の座標:

x_0 = \frac{\pi}{2} - \sin\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - 1, \quad y_0 = 1 - \cos\frac{\pi}{2} = 1

接線の方程式:

y - 1 = 1 \cdot \left(x - \left(\frac{\pi}{2}-1\right)\right)

y = x - \frac{\pi}{2} + 2

問題3（第2次導関数）: $x = t^2$ 、 $y = t^3$ のとき $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ を求めなさい。

解答:

\frac{dx}{dt} = 2t, \quad \frac{dy}{dt} = 3t^2

\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2}{2t} = \frac{3t}{2} \quad (t \neq 0)

\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{3t}{2}\right)}{\dfrac{dx}{dt}} = \frac{\dfrac{3}{2}}{2t} = \frac{3}{4t}

$x = t^2 + 1$ 、 $y = 2t$ のとき、 $\dfrac{dy}{dx}$ を $t$ で表しなさい。

正解: $\dfrac{1}{t}$ $\dfrac{dx}{dt}=2t$ 、 $\dfrac{dy}{dt}=2$ なので $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2}{2t}=\dfrac{1}{t}$ 。
$x = e^t$ 、 $y = e^{2t}$ のとき、 $\dfrac{dy}{dx}$ を $x$ を使って表しなさい。

正解: $2x$ $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2e^{2t}}{e^t}=2e^t=2x$ 。
$x = \cos t$ 、 $y = \sin t$ のとき、 $t = \dfrac{\pi}{6}$ における接線の傾きはいくらですか？

正解: $-\sqrt{3}$ $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\cos t}{-\sin t}=-\cot t$ 。 $t=\dfrac{\pi}{6}$ のとき $-\cot\dfrac{\pi}{6}=-\sqrt{3}$ 。