数列の極限と関数の極限の求め方【数学III】

1. 数列の極限とは

数列 $\{a_n\}$ において、 $n$ を限りなく大きくしたときに $a_n$ がある一定の値 $\alpha$ に限りなく近づくとき、これを数列の極限といい、次のように表します。

\lim_{n\to\infty} a_n = \alpha

分数式の極限で、分子・分母がともに $n\to\infty$ で無限大に発散する形( $\dfrac{\infty}{\infty}$ 、不定形と呼ばれます)は、そのままでは値が定まりません。このようなときは、分母の最高次の項で分子・分母を割るのが基本の解き方です。

次の極限を求めなさい。

\lim_{n\to\infty} \frac{2n+3}{n+1}

分母の最高次の項 $n$ で分子・分母を割ると、

\lim_{n\to\infty} \frac{2n+3}{n+1} = \lim_{n\to\infty} \frac{2+\frac{3}{n}}{1+\frac{1}{n}}

$n\to\infty$ のとき $\dfrac{3}{n}\to0$ 、 $\dfrac{1}{n}\to0$ なので、

= \frac{2+0}{1+0} = 2

$\dfrac{\infty}{\infty}$ の不定形は、分母の最高次の項で割ることで、 $\dfrac{0}{0}$ の形を含まない計算に持ち込めます。

次の極限を求めなさい。

\lim_{n\to\infty} \frac{3n^2+2n}{n^2-5}

分母の最高次の項 $n^2$ で分子・分母を割ると、

= \lim_{n\to\infty} \frac{3+\frac{2}{n}}{1-\frac{5}{n^2}} = \frac{3+0}{1-0} = 3

（本文中への画像挿入案: /images/math-3/kyokugen-kihon-graf.png、alt=「x→2のときの極限値と、そこに近づく点の動きを示したグラフ」をこのセクションの下に配置すると、極限が「限りなく近づく」という意味であることが視覚的に伝わりやすくなります。)

関数 $f(x)$ において、 $x$ がある値 $a$ に限りなく近づくとき、 $f(x)$ がある値 $\alpha$ に限りなく近づくならば、これを関数の極限といい、次のように表します。

\lim_{x\to a} f(x) = \alpha

$x\to a$ のときに分子・分母がともに $0$ に近づく形( $\dfrac{0}{0}$ の不定形)は、因数分解して約分することで解消できます。

次の極限を求めなさい。

\lim_{x\to2} \frac{x^2-4}{x-2}

分子を因数分解すると $x^2-4=(x-2)(x+2)$ なので、

\lim_{x\to2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x\to2}(x+2) = 4

$x=2$ そのものを代入するのではなく、 $x-2$ を約分してから $x\to2$ の極限を考える点がポイントです。

次の極限を求めなさい。

\lim_{x\to\infty} \frac{2x^2+3x}{x^2+1}

分母の最高次の項 $x^2$ で分子・分母を割ると、

= \lim_{x\to\infty} \frac{2+\frac{3}{x}}{1+\frac{1}{x^2}} = \frac{2+0}{1+0} = 2

数列や関数の極限は、合成関数と逆関数の微分で登場する導関数の定義そのものにもつながる、数学IIIの土台となる考え方です。

$\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{5n-1}{2n+3}$ を求めなさい。
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  正解: $\dfrac52$ 。分母の最高次 $n$ で割ると $\dfrac{5-\frac1n}{2+\frac3n}\to\dfrac{5}{2}$ 。
$\displaystyle\lim_{x\to3} \frac{x^2-9}{x-3}$ を求めなさい。
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  正解: $6$ 。因数分解すると $\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\to6$ ( $x\to3$ )。