速度・加速度【数学IIIの微分応用・運動の解析】

「動くものの速さ」を数学的に正確に記述するのが速度・加速度の概念です。微分は「変化の瞬間的な割合」を捉えるツールであり、運動の解析に自然に応用されます。

1. 直線上の運動

点が数直線上を運動するとき、時刻 $t$ における位置を $x = f(t)$ とします。

v = \frac{dx}{dt} = f'(t)

速度は位置の変化率（時間微分）です。

速さは速度の絶対値 $|v|$ です。

\alpha = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2} = f''(t)

加速度は速度の変化率（速度の時間微分）です。

x = f(t) \xrightarrow{\text{微分}} v = f'(t) \xrightarrow{\text{微分}} \alpha = f''(t)

\alpha \xrightarrow{\text{積分}} v \xrightarrow{\text{積分}} x

量	定義	計算
変位	位置の変化量 $f(b) - f(a)$	$\displaystyle\int_a^b v\, dt$
移動距離	実際に移動した距離	$\displaystyle\int_a^b \lvert v \rvert\, dt$

変位は正負があり（方向込み）、移動距離は常に $0$ 以上です。

問題1: 時刻 $t$ （秒）における点の位置が $x = t^3 - 6t^2 + 9t$ （m）のとき、以下を求めなさい。 (1) 時刻 $t = 2$ における速度と加速度 (2) 点が静止する時刻 (3) $t = 0$ から $t = 4$ までの移動距離

解答:

v = \frac{dx}{dt} = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t-1)(t-3)

\alpha = \frac{dv}{dt} = 6t - 12

(1) $t = 2$ のとき:

v(2) = 3(4) - 24 + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 \text{ (m/s)}

\alpha(2) = 12 - 12 = 0 \text{ (m/s}^2\text{)}

(2) $v = 0 \implies 3(t-1)(t-3) = 0 \implies t = 1, 3$ （秒）

(3) $v(t)$ の符号の変化:

各区間の変位:

\int_0^1 v\, dt = \left[t^3 - 6t^2 + 9t\right]_0^1 = 1 - 6 + 9 = 4

\int_1^3 v\, dt = \left[t^3 - 6t^2 + 9t\right]_1^3 = (27 - 54 + 27) - 4 = 0 - 4 = -4

\int_3^4 v\, dt = \left[t^3 - 6t^2 + 9t\right]_3^4 = (64 - 96 + 36) - 0 = 4

移動距離 $= |4| + |-4| + |4| = 4 + 4 + 4 = 12$ (m)

点が平面上を運動するとき、時刻 $t$ における位置を $(x, y) = (f(t), g(t))$ とします。

\vec{v} = \left(\frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt}\right) = (f'(t),\ g'(t))

速さ（速度の大きさ）:

|\vec{v}| = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}

\vec{\alpha} = \left(\frac{d^2x}{dt^2},\ \frac{d^2y}{dt^2}\right) = (f''(t),\ g''(t))

問題2: 時刻 $t$ における点の位置が $x = \cos t$ 、 $y = \sin t$ のとき、速さを求めなさい。また $t = \dfrac{\pi}{4}$ における速度ベクトルを求めなさい。

解答:

\frac{dx}{dt} = -\sin t, \quad \frac{dy}{dt} = \cos t

速さ:

|\vec{v}| = \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2} = \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t} = 1 \text{ (常に一定)}

$t = \dfrac{\pi}{4}$ における速度ベクトル:

\vec{v} = \left(-\sin\frac{\pi}{4},\ \cos\frac{\pi}{4}\right) = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)

この運動は単位円上を一定の速さ $1$ で反時計回りに回転しています。

位置 $x = 2t^2 - 4t + 1$ における $t = 3$ での速度はいくらですか？

正解: $8$ m/s $v = \dfrac{dx}{dt} = 4t - 4$ 。 $t=3$ のとき $v = 12 - 4 = 8$ 。
位置 $x = t^3 - 3t$ のとき、点が静止するのはいつですか？

正解: $t = 1$ と $t = -1$ $v = 3t^2 - 3 = 3(t^2-1) = 0 \implies t = \pm 1$ 。
平面上の運動 $x = t^2$ 、 $y = t^3$ の $t = 1$ における速さはいくらですか？

正解: $\sqrt{13}$ $\dfrac{dx}{dt}=2t=2$ 、 $\dfrac{dy}{dt}=3t^2=3$ （ $t=1$ ）。速さ $= \sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$ 。