対数微分法・高階導関数【対数を使った微分・n次導関数】

複雑な積・商の形や $f(x)^{g(x)}$ の形の関数は、通常の微分では計算が大変です。そこで威力を発揮するのが対数微分法です。また、微分を繰り返し行う高階導関数も数学IIIの重要テーマです。

1. 対数微分法とは

$y = f(x)$ の両辺の絶対値の対数 $\log|y|$ をとり、両辺を $x$ で微分して $y'$ を求める方法です。

1.1. 手順

1. $y = f(x)$ の両辺の対数をとる: $\log|y| = \log|f(x)|$
2. 両辺を $x$ で微分する（左辺は $\frac{y'}{y}$ となる）
3. $y'$ について解く
4. $y = f(x)$ を代入して整理する

基礎となる公式:

$$\frac{d}{dx}[\log|y|] = \frac{y'}{y} = \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx}$$

2. 対数微分法の典型的な使い方

2.1. 積の形 $y = f(x) \cdot g(x) \cdot h(x)$

両辺の対数をとると和に変わるので計算が楽になります。

$$\log|y| = \log|f(x)| + \log|g(x)| + \log|h(x)|$$

2.2. 指数に変数を含む形 $y = f(x)^{g(x)}$

この形は対数をとらないと微分できません。

$$\log|y| = g(x) \cdot \log|f(x)|$$

両辺を $x$ で微分すると

$$\frac{y'}{y} = g'(x)\log|f(x)| + g(x) \cdot \frac{f'(x)}{f(x)}$$

3. 例題（対数微分法）

問題1: $y = x^x$ （$x > 0$）を微分しなさい。

解答:

両辺の対数をとります（$x>0$ なので絶対値不要）。

$$\log y = x \log x$$

両辺を $x$ で微分します。

$$\frac{y'}{y} = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$$

$y'$ を求めると

$$y' = y(\log x + 1) = x^x(\log x + 1)$$

---

問題2: $y = \dfrac{(x+1)^2 \sqrt{x+2}}{(x+3)^3}$（$x > -1$ の範囲）を微分しなさい。

解答:

両辺の対数をとります。

$$\log y = 2\log(x+1) + \frac{1}{2}\log(x+2) - 3\log(x+3)$$

両辺を $x$ で微分します。

$$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x+1} + \frac{1}{2(x+2)} - \frac{3}{x+3}$$

$y'$ を求めます。

$$y' = \frac{(x+1)^2\sqrt{x+2}}{(x+3)^3} \left(\frac{2}{x+1} + \frac{1}{2(x+2)} - \frac{3}{x+3}\right)$$

4. 高階導関数

$f(x)$ を $n$ 回微分して得られる関数を**$n$ 次導関数**といい、$f^{(n)}(x)$ または $\dfrac{d^n y}{dx^n}$ と表します。

4.1. 基本関数の $n$ 次導関数

$$\left(e^x\right)^{(n)} = e^x$$ $$(\sin x)^{(n)} = \sin\!\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$$ $$(\cos x)^{(n)} = \cos\!\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$$ $$\left(x^m\right)^{(n)} = m(m-1)(m-2)\cdots(m-n+1)\,x^{m-n} \quad (m \geq n \text{ の整数})$$

特に $n = m$ のとき $(x^n)^{(n)} = n!$、$n > m$ のとき $(x^m)^{(n)} = 0$。

$$\left(\frac{1}{x}\right)^{(n)} = \frac{(-1)^n \cdot n!}{x^{n+1}}$$

5. ライプニッツの公式

$f(x)$ と $g(x)$ の積の $n$ 次導関数は次のライプニッツの公式で求められます（二項定理と形が同じ）。

$$\{f(x)g(x)\}^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)}(x)\, g^{(n-k)}(x)$$

ただし $f^{(0)}(x) = f(x)$、$g^{(0)}(x) = g(x)$。

6. 例題（高階導関数）

問題3: $y = x^2 e^x$ の $n$ 次導関数を求めなさい。

解答:

ライプニッツの公式を使います。$f(x) = e^x$、$g(x) = x^2$ とおきます。

• $f^{(k)}(x) = e^x$（すべての $k$ に対して）
• $$g^{(0)}(x) = x^2,\ g^{(1)}(x) = 2x,\ g^{(2)}(x) = 2,\ g^{(k)}(x) = 0\ (k \geq 3)$$

ライプニッツの公式の和は $k = 0, 1, 2$ の項のみ残ります。

$$y^{(n)} = \binom{n}{0}e^x \cdot x^2 + \binom{n}{1}e^x \cdot 2x + \binom{n}{2}e^x \cdot 2$$ $$= e^x\left(x^2 + 2nx + n(n-1)\right)$$

関連記事: 合成関数の微分 / 媒介変数表示の微分

7. クイズ

1. 対数微分法を使って $y = x^{\sin x}$（$x > 0$）の $y'$ を求めなさい。

   正解: 両辺対数 $\log y = \sin x \cdot \log x$ を $x$ で微分すると $\dfrac{y'}{y} = \cos x \cdot \log x + \dfrac{\sin x}{x}$。よって $y' = x^{\sin x}\!\left(\cos x \cdot \log x + \dfrac{\sin x}{x}\right)$。

2. $y = e^{3x}$ の $n$ 次導関数 $y^{(n)}$ はいくらですか？

   正解: $3^n e^{3x}$ $y' = 3e^{3x}$、$y'' = 9e^{3x} = 3^2 e^{3x}$、一般に $y^{(n)} = 3^n e^{3x}$。

3. $y = \sin x$ の第100次導関数 $y^{(100)}$ はいくらですか？

   正解: $\sin x$ $(\sin x)^{(n)} = \sin(x + \frac{n\pi}{2})$。$n=100$ のとき $\sin(x + 50\pi) = \sin x$。