増減・極値・凹凸・変曲点【グラフの詳しい描き方】

数学IIIでは、微分を使ってグラフをより詳しく分析します。数学IIでは増減・極値まで扱いましたが、数学IIIではさらに凹凸と変曲点を加え、曲線の形を精密に把握します。

1. 増減と極値（復習）

$x$	$\cdots$	$a$	$\cdots$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	増加	極大	減少

数学IIIの新しい内容として、第2次導関数を使ったグラフの凹凸の分析があります。

凹凸が切り替わる点、すなわち $f''(x)$ の符号が変わる点を変曲点といいます。

変曲点の条件: $f''(a) = 0$ かつその前後で $f''(x)$ の符号が変わる。

注意: $f''(a) = 0$ だけでは変曲点とはいえません。符号変化の確認が必須です。

数学IIIでは $f'(x)$ と $f''(x)$ を両方記入した増減表を作ります。

$x$	$\cdots$	$a$	$\cdots$	$b$	$\cdots$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$
$f''(x)$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	増加・上凸	極大	減少・上凸	変曲点	減少・下凸

問題: $f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$ について、極値と変曲点を求め、グラフの概形を描きなさい。

解答:

ステップ1: 導関数を求めます。

f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)

f'(x) = 0 \implies x = 0 \text{ または } x = 2

ステップ2: 第2次導関数を求めます。

f''(x) = 6x - 6 = 6(x-1)

f''(x) = 0 \implies x = 1

ステップ3: 増減表

$x$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$2$	$\cdots$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$f''(x)$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$f(x)$	増・上凸	極大	減・上凸	変曲点	減・下凸	極小	増・下凸

ステップ4: 各点の値

ステップ5: $x \to +\infty$ で $f(x) \to +\infty$ 、 $x \to -\infty$ で $f(x) \to -\infty$

グラフの特徴まとめ:

問題2（発展）: $f(x) = xe^{-x}$ の極値・変曲点を求めなさい。

解答:

f'(x) = e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(1-x)

$e^{-x} > 0$ なので $f'(x) = 0 \implies x = 1$ 。

f''(x) = -e^{-x}(1-x) + e^{-x}(-1) = e^{-x}(x-2)

$f''(x) = 0 \implies x = 2$ 。

増減表:

$x$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$2$	$\cdots$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$
$f''(x)$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	増・上凸	極大	減・上凸	変曲点	減・下凸

$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$ の極大値と極小値を求めなさい。

正解: $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)$ 。 $x=1$ で極大 $f(1)=6$ 、 $x=3$ で極小 $f(3)=2$ 。
$f(x) = x^4 - 6x^2 + 1$ の変曲点の $x$ 座標を求めなさい。

正解: $f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x^2-1)$ 。 $f''(x)=0$ は $x = \pm 1$ 。前後で符号変化あり。変曲点は $x = \pm 1$ 。
$f''(x) > 0$ の区間ではグラフはどのような形になりますか？

正解: 下に凸（接線の下にグラフがある）。グラフが上に向かって湾曲している形。