📐 微分法の公式まとめ

「微分法」で学ぶ公式をまとめました。各公式をタップすると解説記事にジャンプします。

合成関数と逆関数の微分のやり方をわかりやすく解説

1.1. 手順
$\frac{d}{dx}[\log|y|] = \frac{y'}{y} = \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx}$
2.1. 積の形 y=f(x)⋅g(x)⋅h(x)y = f(x) \cdot g(x) \cdot h(x)y=f(x)⋅g(x)⋅h(x)
$\log|y| = \log|f(x)| + \log|g(x)| + \log|h(x)|$
2.2. 指数に変数を含む形 y=f(x)g(x)y = f(x)^{g(x)}y=f(x)g(x)
$\log|y| = g(x) \cdot \log|f(x)|$
2.2. 指数に変数を含む形 y=f(x)g(x)y = f(x)^{g(x)}y=f(x)g(x)
$\frac{y'}{y} = g'(x)\log|f(x)| + g(x) \cdot \frac{f'(x)}{f(x)}$
4.1. 基本関数の nnn 次導関数
$\left(e^x\right)^{(n)} = e^x$
4.1. 基本関数の nnn 次導関数
$(\sin x)^{(n)} = \sin\!\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$
4.1. 基本関数の nnn 次導関数
$(\cos x)^{(n)} = \cos\!\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$
4.1. 基本関数の nnn 次導関数
$\left(x^m\right)^{(n)} = m(m-1)(m-2)\cdots(m-n+1)\,x^{m-n} \quad (m \geq n \text{ の整数})$
4.1. 基本関数の nnn 次導関数
$\left(\frac{1}{x}\right)^{(n)} = \frac{(-1)^n \cdot n!}{x^{n+1}}$
5. ライプニッツの公式
$\{f(x)g(x)\}^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)}(x)\, g^{(n-k)}(x)$

1. 媒介変数表示とは
$x = f(t), \quad y = g(t)$
2. 媒介変数表示の微分公式
$\frac{dy}{dx} = \frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} = \frac{g'(t)}{f'(t)}$
2.1. 導出の考え方
$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}$
2.2. 第2次導関数
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\!\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{\dfrac{dx}{dt}}$
3. 接線の方程式の求め方
$m = \frac{g'(t_0)}{f'(t_0)}$
3. 接線の方程式の求め方
$y - y_0 = m(x - x_0)$