📐 積分法の公式まとめ

「積分法」で学ぶ公式をまとめました。各公式をタップすると解説記事にジャンプします。

置換積分と部分積分のやり方をわかりやすく解説

1. 微積分の基本定理
$\int_a^b f(x)\, dx = \left[F(x)\right]_a^b = F(b) - F(a)$
1.1. 定積分の基本的な性質
$\int_a^b f(x)\, dx = -\int_b^a f(x)\, dx$
1.1. 定積分の基本的な性質
$\int_a^a f(x)\, dx = 0$
1.1. 定積分の基本的な性質
$\int_a^b [f(x) \pm g(x)]\, dx = \int_a^b f(x)\, dx \pm \int_a^b g(x)\, dx$
1.1. 定積分の基本的な性質
$\int_a^b kf(x)\, dx = k\int_a^b f(x)\, dx$
1.1. 定積分の基本的な性質
$\int_a^b f(x)\, dx = \int_a^c f(x)\, dx + \int_c^b f(x)\, dx$
2. 偶関数・奇関数の定積分
$\int_{-a}^{a} f(x)\, dx = 2\int_0^a f(x)\, dx$
2. 偶関数・奇関数の定積分
$\int_{-a}^{a} f(x)\, dx = 0$
3. 置換積分（定積分への応用）
$\int_a^b f(x)\, dx = \int_\alpha^\beta f(g(t))\, g'(t)\, dt$
4. 部分積分（定積分への応用）
$\int_a^b f(x)g'(x)\, dx = \left[f(x)g(x)\right]_a^b - \int_a^b f'(x)g(x)\, dx$
5. 区分求積法と定積分の関係
$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} f\!\left(\frac{k}{n}\right)\frac{1}{n} = \int_0^1 f(x)\, dx$

1.1. 曲線と xxx 軸の間の面積
$S = \int_a^b f(x)\, dx$
1.1. 曲線と xxx 軸の間の面積
$S = \int_a^b |f(x)|\, dx$
1.2. 2曲線で囲まれた面積
$S = \int_a^b [f(x) - g(x)]\, dx$
1.2. 2曲線で囲まれた面積
$S = \int_a^b |f(x) - g(x)|\, dx$
1.3. 媒介変数表示の曲線の面積
$S = \int_\alpha^\beta g(t)\, f'(t)\, dt \quad \text{（積分の向きに注意）}$
3.1. xxx 軸のまわりの回転体
$V = \pi\int_a^b [f(x)]^2\, dx$
3.2. 2曲線の間の回転体
$V = \pi\int_a^b \left[\{f(x)\}^2 - \{g(x)\}^2\right]\, dx \quad (f(x) \geq g(x) \geq 0)$
3.3. yyy 軸のまわりの回転体
$V = \pi\int_c^d [h(y)]^2\, dy$
5.1. y=f(x)y = f(x)y=f(x) の場合
$L = \int_a^b \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\, dx = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\, dx$
5.2. 媒介変数表示 x=f(t)x = f(t)x=f(t)、y=g(t)y = g(t)y=g(t) の場合
$L = \int_\alpha^\beta \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\, dt$