三角形の性質【内心・外心・重心・垂心・傍心】

三角形には、特別な性質をもつ「5つの重要な点」があります。これらは内心・外心・重心・垂心・傍心と呼ばれ、図形の性質を理解する上で欠かせません。それぞれの定義と性質を正確に覚えましょう。

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1. 内心（ないしん）

1.1. 内心とは

三角形の3つの内角の二等分線が交わる点を内心といいます。記号では通常 $I$ で表します。

作図方法： 3頂点から内角の二等分線を引くと、1点で交わります。

1.2. 内心の性質

1. 内心は三角形に内接する円（内接円）の中心です。
2. 内心から3辺までの距離がすべて等しい（これが内接円の半径 $r$ になります）。
3. 内心は常に三角形の内部にあります（どんな三角形でも）。

1.3. 内接円の半径と面積

三角形 $ABC$ の3辺の長さを $a = BC$、$b = CA$、$c = AB$、面積を $S$、内接円の半径を $r$ とすると：

$$S = \frac{1}{2}r(a + b + c)$$

これを変形すると：

$$r = \frac{2S}{a + b + c}$$

1.4. 例題1：内接円の半径

問題： 3辺の長さが $a = 5$、$b = 12$、$c = 13$ の直角三角形の内接円の半径を求めよ。

解答：

$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$ より、この三角形は直角三角形です。

面積は：$S = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30$

$$r = \frac{2S}{a+b+c} = \frac{2 \times 30}{5 + 12 + 13} = \frac{60}{30} = 2$$

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2. 外心（がいしん）

2.1. 外心とは

三角形の3辺の垂直二等分線が交わる点を外心といいます。記号では $O$ で表します。

2.2. 外心の性質

1. 外心は三角形に外接する円（外接円）の中心です。
2. 外心から3頂点までの距離がすべて等しい（これが外接円の半径 $R$ になります）。
3. 外心の位置は三角形の種類によって異なります：
   • 鋭角三角形 → 内部
   • 直角三角形 → 斜辺の中点（三角形の上）
   • 鈍角三角形 → 外部

2.3. 正弦定理と外接円の半径

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

この関係から、外接円の半径 $R$ を求めることができます。

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3. 重心（じゅうしん）

3.1. 重心とは

三角形の3本の中線（各頂点と向かい合う辺の中点を結ぶ線分）が交わる点を重心といいます。記号では $G$ で表します。

3.2. 重心の性質

1. 重心は各中線を 2:1 に内分します。
   • 頂点側の長さ：中点側の長さ = 2:1
2. 重心は常に三角形の内部にあります。
3. 三角形を重心で3つに分割すると、3つの三角形の面積はすべて等しい（元の三角形の面積の $\frac{1}{3}$）。

3.3. 重心の座標

頂点 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$、$C(x_3, y_3)$ の三角形の重心 $G$ の座標：

$$G = \left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3},\ \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)$$

3.4. 例題2：重心の座標

問題： $A(1, 2)$、$B(5, 0)$、$C(3, 4)$ の三角形の重心を求めよ。

解答：

$$G = \left(\frac{1+5+3}{3},\ \frac{2+0+4}{3}\right) = \left(\frac{9}{3},\ \frac{6}{3}\right) = (3,\ 2)$$

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4. 垂心（すいしん）

4.1. 垂心とは

三角形の各頂点から向かい合う辺（またはその延長）への垂線（高さの直線）が交わる点を垂心といいます。記号では $H$ で表します。

4.2. 垂心の性質

1. 垂心の位置も外心と同様に三角形の種類で異なります：
   • 鋭角三角形 → 内部
   • 直角三角形 → 直角の頂点
   • 鈍角三角形 → 外部
2. オイラー線：三角形の外心 $O$、重心 $G$、垂心 $H$ は一直線上にあり、$OG:GH = 1:2$ の比で重心が外心と垂心の間を分けます。

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5. 傍心（ぼうしん）

5.1. 傍心とは

三角形の1つの内角の二等分線と、残り2つの外角の二等分線が交わる点を傍心といいます。傍心は3つあり、それぞれ $I_A$、$I_B$、$I_C$ で表します。

5.2. 傍心の性質

1. 傍心は常に三角形の外部にあります。
2. 各傍心を中心とした円は、三角形の1辺と他の2辺の延長に接します（傍接円）。

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6. 5つの心のまとめ

オイラー線： $O$、$G$、$H$ の3点は常に一直線上にある（$OG:GH = 1:2$）

円と接線の性質は 円と接線（接弦定理・円周角・内接四角形） で詳しく学べます。チェバの定理とメネラウスの定理は チェバの定理とメネラウスの定理 を参照してください。

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7. クイズ

問1. 次のうち「常に三角形の内部にある点」をすべて選べ。 （ア）内心　（イ）外心　（ウ）重心　（エ）垂心　（オ）傍心

正解： （ア）内心と（ウ）重心

解説： 内心と重心は三角形の種類に関係なく常に内部にあります。外心と垂心は鈍角三角形では外部に、傍心は常に外部にあります。

問2. 3辺が $a=7$、$b=8$、$c=9$ の三角形の面積を $S$ とするとき、内接円の半径 $r$ を $S$ を使って表せ。

正解： $r = \dfrac{S}{12}$

解説： $r = \frac{2S}{a+b+c} = \frac{2S}{7+8+9} = \frac{2S}{24} = \frac{S}{12}$

問3. $A(0,0)$、$B(6,0)$、$C(0,3)$ の三角形の重心の座標を求めよ。

正解： $(2,\ 1)$

解説： $G = \left(\frac{0+6+0}{3},\ \frac{0+0+3}{3}\right) = (2,\ 1)$